Eine Gruppe, die von einer Menge S erzeugt wird und neben den durch die Gruppenaxiome vorgeschriebenen Bedingungen keinerlei Relationen besitzt: Elemente sind reduzierte Wörter in S ∪ S^{-1}, Multiplikation ist Konkatenation gefolgt von freier Reduktion; äquivalent durch eine universelle Abbildungseigenschaft charakterisiert.

Prinzip

Freiheit in der Gruppentheorie bedeutet, dass die Erzeuger nur den Gruppenaxiomen unterworfen sind und keine weiteren Relationen haben; die universelle Eigenschaft besagt, dass jede Abbildung von S in eine Gruppe G eindeutig zu einem Gruppenhomomorphismus vom freien Gruppen F(S) nach G erweitert.

Demonstration

Für eine Menge S lässt sich die freie Gruppe F(S) als Menge äquivalenzierter reduzierter Wörter in den Symbolen aus S und ihren formalen Inversen konstruieren: z. B. enthält F({a,b}) Wörter wie a b^{-1} a a, und Homomorphismen aus F({a,b}) sind durch die Bilder von a und b bestimmt.

Fehlanwendung

Freie Gruppen mit freien abelschen Gruppen zu verwechseln (diese verlangen Kommutativität), oder anzunehmen, dass das Fehlen von Relationen in einer Präsentation überall algebraische Unabhängigkeit bedeutet; falsche Wortreduktion führt zu fehlerhaften Gleichheitsbehauptungen.

Konsequenz

Freie Gruppen sind Bausteine der kombinatorischen und geometrischen Gruppentheorie: sie liegen Präsentationen zugrunde, ermöglichen universelle Konstruktionen, Aktionen auf Überlagerungen und zeigen, wie Relationen die Struktur durch Quotientierung einschränken.

Umkehrung

Eine präsentierte Gruppe ist der Quotient einer freien Gruppe durch den normalen Abschluss der vorgegebenen Relationen; genügend Relationen können die Freiheit zu einer trivialen oder stark eingeschränkten Gruppe kollabieren lassen.

Abgrenzung

Gilt in der Kategorie der Gruppen (standardmäßig nichtabelsch); der Begriff unterscheidet sich, wenn man abelisiert (freie abelsche Gruppe) oder in anderen algebraischen Kategorien arbeitet, in denen Freiheit formal anders definiert ist.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen freien und freien abelschen Begriffen sowie zwischen algebraischer Freiheit und geometrisch/topologischen Interpretationen (z. B. sind Fundamentalg­ruppen von Graphen frei); außerdem gibt es Spannungen bei freien Gruppen unendlichen Rangs hinsichtlich Basen und Automorphismengruppen.

Synthese

Eine freie Gruppe über einer Menge S ist die allgemeinste von S erzeugte Gruppe ohne zusätzliche Relationen: ihre Elemente sind reduzierte Wörter, sie erfüllt eine universelle Abbildungseigenschaft und dient als Ausgangspunkt zur Konstruktion von Gruppen durch Relationseinführung (Quotienten).