Un grupo generado por un conjunto S sin relaciones salvo las impuestas por los axiomas de grupo: los elementos son palabras reducidas en S ∪ S^{-1} y la multiplicación es concatenación seguida de reducción libre; caracterizado también por una propiedad universal respecto a aplicaciones desde S.

Principio

La libertad en teoría de grupos significa que los generadores sólo están sujetos a los axiomas de grupo y no a relaciones adicionales; la propiedad universal afirma que cualquier aplicación de S a un grupo G se extiende de forma única a un homomorfismo desde el grupo libre sobre S hacia G.

Demostración

Dado un conjunto S, el grupo libre F(S) puede realizarse como clases de equivalencia de palabras reducidas en símbolos de S y sus inversos formales, con concatenación y cancelación: por ejemplo, F({a,b}) contiene palabras como a b^{-1} a a, y los homomorfismos desde F({a,b}) están determinados por las imágenes de a y b.

Aplicación incorrecta

Confundir grupos libres con grupos abelianos libres (estos últimos imponen conmutatividad), o asumir que la ausencia de relaciones en una presentación implica independencia algebraica en todos los contextos; no reducir correctamente palabras conduce a afirmaciones de igualdad erróneas.

Consecuencia

Los grupos libres son bloques constructivos en la teoría combinatoria y geométrica de grupos: sustentan presentaciones de grupos, construcciones universales, acciones en recubrimientos y muestran cómo las relaciones imponen restricciones al tomar cocientes del grupo libre.

Inversión

Un grupo presentado con relaciones es el cociente de un grupo libre por el cierre normal de las relaciones especificadas; imponer suficientes relaciones puede colapsar la libertad hasta un grupo trivial o muy restringido.

Límite

Se aplica en la categoría de grupos (no abelianos por defecto); la noción cambia al forzar la abelianización (grupo abeliano libre) o al trabajar en otras categorías algebraicas donde la libertad tiene significados formales distintos.

Tensión semántica

Existe tensión entre las nociones libre y libre abeliano y entre la libertad algebraica y las interpretaciones geométricas/topológicas (por ejemplo, los grupos fundamentales de grafos son libres); también hay tensión en grupos libres de rango infinito respecto a bases y grupos de automorfismos.

Síntesis

Un grupo libre sobre un conjunto S es el grupo más general generado por S sin relaciones distintas de los axiomas de grupo: sus elementos son palabras reducidas, satisface una propiedad universal y sirve como punto de partida para construir grupos imponiendo relaciones (cocientes).