L'anneau des polynômes en un ou plusieurs indéterminées sur un anneau ou corps de base R, noté R[x], R[x1,...,xn], constitué de combinaisons linéaires finies sur R de monômes en les indéterminées.

Principe

Les polynômes forment l'algèbre commutative libre sur R engendrée par un ensemble d'indéterminées : les expressions sont des sommes finies de coefficients multipliés par des monômes, avec opérations données par la distributivité.

Démonstration

k[x] est l'anneau des polynômes en une variable sur un corps k ; k[x,y] est l'ensemble des sommes finies a_{ij} x^i y^j. Si R est noethérien alors R[x] est noethérien (théorème de Hilbert).

Mauvaise application

Confondre anneau de polynômes et anneau des fonctions polynomiales sur un corps fini : des polynômes distincts peuvent définir la même fonction sur un corps fini, et les séries formelles diffèrent des polynômes.

Conséquence

Les anneaux de polynômes servent d'anneaux de coordonnées pour les variétés affines, permettent des algorithmes fondés sur le degré (division, bases de Gröbner sur un corps) et sont des exemples prototypes en algèbre.

Inversion

Les anneaux de séries formelles R[[x]] autorisent des sommes infinies et possèdent des propriétés de complétion très différentes ; les algèbres libres en variables non commutatives diffèrent des anneaux de polynômes commutatifs.

Limite

On entend généralement des polynômes commutatifs en indéterminées commutantes sur un anneau de base unitaire ; exclut les algèbres libres non commutatives, les corps de fractions rationnelles et les séries formelles sauf précision.

Tension sémantique

Anneau de polynômes vs anneau de fonctions polynomiales : le premier est algébrique et formel, le second es un ensemble de fonctions sur un domaine ; sur corps infinis ils coïncident comme applications mais pas toujours comme objets algébriques.

Synthèse

Un anneau de polynômes est l'algèbre des combinaisons linéaires finies de monômes en des indéterminées à coefficients dans un anneau de base ; c'est l'algèbre commutative libre sur des variables et la base de nombreuses constructions algébriques et géométriques.