Der Polynomring in einer oder mehreren Unbestimmten über einem Grundring oder Körper R, bezeichnet R[x], R[x1,...,xn], bestehend aus endlichen R-linearen Kombinationen von Monomen in den Unbestimmten.

Prinzip

Polynome bilden die freie kommutative R-Algebra auf einer Menge von Unbestimmten: Ausdrücke sind endliche Summen von Koeffizienten mal Monome, Addition und Multiplikation folgen aus der Distributivität.

Demonstration

k[x] ist der Polynomring in einer Variablen über einem Körper k; k[x,y] besteht aus endlichen Summen a_{ij} x^i y^j. Ist R noethersch, so ist auch R[x] noethersch (Hilberts Basissatz).

Fehlanwendung

Den Polynomring mit dem Ring polynomieller Funktionen über einem endlichen Feld zu verwechseln: verschiedene Polynome können dieselbe Funktion definieren, und formale Potenzreihen unterscheiden sich wesentlich von Polynomen.

Konsequenz

Polynomringe liefern Koordinatenringe für affine Varietäten, erlauben gradbasierte Algorithmen (Division, Gröbner-Basen über Körpern) und dienen als prototypische Beispiele in der Algebra.

Umkehrung

Formale Potenzreihen R[[x]] erlauben unendliche Summen und haben sehr unterschiedliche Vervollständigungs- und Konvergenzeigenschaften; freie Algebren in nichtkommutierenden Variablen unterscheiden sich vom kommutativen Polynomring.

Abgrenzung

Üblicherweise spricht man von kommutativen Polynomen in kommutierenden Unbestimmten über einem einheitlichen Grundring; nichtkommutative Freialgebren, rationale Funktionenkörper oder Potenzreihen sind ausgeschlossen, sofern nicht angegeben.

Semantische Spannung

Polynomring vs ring polynomieller Funktionen: Der erste ist eine formale Algebra, der zweite eine Menge von Funktionen; über unendlichen Körpern stimmen sie oft als Abbildungen überein, jedoch nicht als algebraische Objekte generell.

Synthese

Ein Polynomring ist die Algebra der endlichen formalen Linearkombinationen von Monomen in Unbestimmten mit Koeffizienten aus einem Grundring; er ist die freie kommutative Algebra und bildet die Grundlage vieler algebraischer und geometrischer Konstruktionen.