Definición
El anillo de polinomios en una o varias indeterminadas sobre un anillo o cuerpo de base R, denotado R[x], R[x1,...,xn], formado por combinaciones lineales finitas sobre R de monomios en las indeterminadas.
Principio
Principio
Los polinomios constituyen la R-álgebra conmutativa libre sobre un conjunto de indeterminadas: las expresiones son sumas finitas de coeficientes por monomios, con suma y producto dados por distributividad.
Demostración
Demostración
k[x] es el anillo de polinomios en una variable sobre un cuerpo k; k[x,y] contiene sumas finitas a_{ij} x^i y^j. Si R es noetheriano, entonces R[x] es noetheriano (teorema de Hilbert).
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir anillo de polinomios con el anillo de funciones polinómicas sobre un campo finito: polinomios distintos pueden definir la misma función, y las series formales difieren esencialmente de los polinomios.
Consecuencia
Consecuencia
Los anillos de polinomios proporcionan anillos de coordenadas para variedades afines, permiten algoritmos basados en el grado (división, bases de Gröbner sobre cuerpos) y son ejemplos prototipo en álgebra.
Inversión
Inversión
Los anillos de series formales R[[x]] admiten sumas infinitas y tienen propiedades de completación y convergencia muy distintas; las álgebras libres en variables no conmutativas difieren de los anillos de polinomios conmutativos.
Límite
Límite
Normalmente se refiere a polinomios conmutativos en indeterminadas conmutativas sobre un anillo base con unidad; excluye álgebras libres no conmutativas, cuerpos de funciones racionales y series formales a menos que se indique.
Tensión semántica
Tensión semántica
Anillo de polinomios vs anillo de funciones polinómicas: el primero es un objeto algebraico formal, el segundo un conjunto de funciones sobre un dominio; sobre campos infinitos coinciden como aplicaciones pero no siempre como objetos algebraicos.
Síntesis
Síntesis
Un anillo de polinomios es la álgebra de combinaciones lineales finitas de monomios en indeterminadas con coeficientes en un anillo base; es la álgebra conmutativa libre en variables y sustenta muchas construcciones algebraicas y geométricas.