Un anneau associatif unitaire dont tout élément non nul possède un inverse multiplicatif ; la multiplication peut être non commutative. On le nomme parfois anneau divisionnaire ou skew field en anglais.

Principe

L'organisation repose sur l'inversibilité de tous les éléments non nuls : associativité et existence d'un élément unité permettent des manipulations algébriques même si ab ≠ ba.

Démonstration

Les quaternions constituent un exemple classique non commutatif : chaque quaternion non nul a un inverse, les équations linéaires admettent donc des solutions adaptées à la multiplication à gauche ou à droite, mais l'ordre des facteurs importe.

Mauvaise application

Prendre l'algèbre des matrices sur un corps pour un anneau de division sous prétexte que beaucoup de matrices sont inversibles ; il existe des matrices singulières et toutes les matrices non nulles ne sont pas inversibles, donc M_n(K) n'est pas un anneau de division pour n>1.

Conséquence

L'algèbre linéaire à gauche et à droite reste bien définie : on dispose de divisions non nulles et de propriétés d'annulation ; la structure des algèbres centrales simples et la classification des cas finis découlent de l'exigence d'inversibilité.

Inversion

Un anneau qui admet des diviseurs de zéro ou des éléments non nuls non inversibles : il perd les propriétés d'annulation et la possibilité de diviser universellement.

Limite

Nécessite l'associativité et un élément unité ; exclut les algèbres de division non associatives (par exemple les octonions) si l'on réserve « anneau de division » aux structures associatives ; l'élément zéro n'est pas inversible.

Tension sémantique

Confusion possible avec le mot corps : tous deux exigent des inverses pour les éléments non nuls, mais le corps impose en plus la commutativité de la multiplication ; certains auteurs préfèrent « algèbre de division » pour inclure les cas non associatifs.

Synthèse

Un anneau de division est un anneau associatif unitaire où chaque élément non nul admet un inverse multiplicatif ; il généralise le concept de corps en abandonnant la commutativité tout en conservant la puissance des inverses universels.