Ein assoziativer Ring mit Eins, in dem jedes von Null verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt; die Multiplikation muss nicht kommutativ sein. Synonym: Schiefkörper.

Prinzip

Die ordnende Idee ist die Invertierbarkeit aller Nichtnull-Elemente bei gegebener Assoziativität und Eins, wodurch algebraische Operationen auch bei ab ≠ ba möglich bleiben.

Demonstration

Die Quaternionen sind ein klassisches nichtkommutatives Beispiel: jedes von null verschiedene Quaternion hat ein Inverses, dadurch lassen sich passend geordnete lineare Gleichungen lösen, aber Vertauschen der Faktoren verändert das Resultat.

Fehlanwendung

Die Matrixalgebra M_n(F) für n>1 als Divisionsring zu betrachten, weil viele Matrizen invertierbar sind; tatsächlich gibt es singuläre Matrizen, also ist nicht jedes von null verschiedene Element invertierbar.

Konsequenz

Lineare Algebra mit links- und rechtsseitigen Vektorräumen funktioniert sinnvoll; nichtnullige Elemente sind teilbar, und die Struktur solcher Ringe beeinflusst die Theorie zentraler einfacher Algebren sowie die Klassifikation endlicher Fälle.

Umkehrung

Ein Ring mit Nullteilern oder mit nichtinvertierbaren Nichtnull-Elementen; er besitzt keine universellen multiplikativen Inversen und verliert damit Abschöpfungs- und Teilbarkeitsregeln.

Abgrenzung

Voraussetzung ist Assoziativität und ein Multiplikativneutralelement; nichtassoziative Divisionenalgebren (zum Beispiel Oktonionen) sind ausgeschlossen, sofern man ‚Divisionsring‘ für assoziative Strukturen verwendet; die Null ist nicht invertierbar.

Semantische Spannung

Nähe zum Begriff Körper: beide verlangen Inverse für Nichtnull-Elemente, der Körper verlangt zusätzlich kommutative Multiplikation; der Begriff ‚Divisionenalgebra‘ wird manchmal weiter gefasst und schließt Nichtassoziativität ein.

Synthese

Ein Divisionsring ist ein assoziativer Ring mit Eins, in dem jedes Nichtnull-Element ein multiplikatives Inverses besitzt; er verallgemeinert Körper, indem er die Kommutativitätsanforderung fallenlässt, aber die universelle Teilbarkeit bewahrt.