Un anillo asociativo con unidad en el que todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo; la multiplicación puede no ser conmutativa. A veces se llama skew field o campo no conmutativo.

Principio

La regla organizadora es la invertibilidad de todos los elementos no nulos junto con la asociatividad y la unidad, lo que permite operar algebraicamente incluso si ab ≠ ba.

Demostración

Los cuaterniones constituyen un ejemplo clásico no conmutativo: cada cuaternión no nulo tiene inverso, por lo que ciertas ecuaciones lineales tienen soluciones unívocas según se divida a la izquierda o a la derecha, pero el orden de los factores altera el resultado.

Aplicación incorrecta

Asumir que la matriz algebra M_n(F) es un anillo de división porque muchas matrices son invertibles; sin embargo existen matrices singulares, por lo que no todo elemento distinto de cero tiene inverso cuando n>1.

Consecuencia

La álgebra lineal lateral funciona: existen espacios vectoriales a la izquierda y a la derecha, y la posibilidad de dividir por elementos no nulos facilita la resolución de ecuaciones; también condiciona la teoría de álgebras centrales simples y la clasificación de casos finitos.

Inversión

Un anillo con divisores de cero o con elementos no nulos no invertibles; en tal anillo la división universal falla y se pierden propiedades de cancelación.

Límite

Se requiere asociatividad y un elemento unidad; quedan excluidas las álgebras de división no asociativas (por ejemplo los octoniones) si se reserva “anillo de división” para estructuras asociativas; el cero no es invertible.

Tensión semántica

Solapamiento con el término cuerpo: ambos exigen inversos para elementos no nulos, pero el cuerpo añade la conmutatividad multiplicativa; algunos autores usan “álgebra de división” para cubrir casos no asociativos.

Síntesis

Un anillo de división es un anillo asociativo con unidad en el que todo elemento distinto de cero es invertible multiplicativamente; generaliza los cuerpos al permitir no conmutatividad pero conserva la capacidad de dividir por elementos no nulos.