Le Groupe Alternant A_n est le sous-groupe du groupe symétrique S_n constitué de toutes les permutations paires (celles exprimables comme un nombre pair de transpositions) ; il est d'indice deux dans S_n et d'ordre n!/2 pour n ≥ 2.

Principe

A_n est le noyau de l'homomorphisme signe sgn : S_n → {±1}, ainsi la parité des permutations organise S_n en deux classes de cosets (paires et impaires) ; pour n ≥ 3 A_n est engendré par des 3-cycles et pour n ≥ 5 c'est un groupe simple non abélien.

Démonstration

A_4 contient l'identité et les permutations paires dérivées de doubles transpositions/3-cycles, comptant 12 éléments ; A_5 a 60 éléments et est le plus petit groupe simple non abélien, montrant comment les groupes alternants captent la symétrie 'paire'.

Mauvaise application

Prétendre que A_n est abélien ou que tous les sous-groupes de S_n contenus dans A_n sont normaux est faux ; mal utiliser la parité en confondant la parité de la longueur d'un cycle avec la parité d'une permutation conduit à des erreurs.

Conséquence

A_n fournit d'importants exemples de groupes simples (n ≥ 5), définit un sous-groupe normal d'indice deux dans S_n, et joue un rôle central dans l'étude de la simplicité, des actions de groupe et de la théorie de Galois lorsque la contrainte de parité est pertinente.

Inversion

Le complément de A_n dans S_n contient toutes les permutations impaires ; inverser la parité donne le coset des permutations impaires qui n'est pas un sous-groupe. Considérer seulement les permutations impaires ne produit pas de sous-groupe mais illustre la structure en cosets bilatéraux.

Limite

Pour n < 2 les définitions se dégénèrent : A_0 et A_1 sont triviaux par convention, A_2 est trivial ; des propriétés comme l'engendrement par des 3-cycles ou la simplicité ne valent que pour des intervalles spécifiés (≥3 pour l'engendrement par 3-cycles, ≥5 pour la simplicité). Sont exclus les notions de parité dans d'autres catégories sans application signe.

Tension sémantique

Tension entre le groupe alternant défini algébriquement comme noyau du signe et les notions géométriques de symétries préservant l'orientation ; les deux captent la 'parité' mais peuvent différer sur les structures supplémentaires préservées (orientation vs parité de permutation).

Synthèse

A_n est le sous-groupe des permutations paires de S_n : le noyau de l'application signe, d'indice deux et engendré par des 3-cycles pour n ≥ 3, fournissant des exemples centraux de sous-groupes normaux et, pour n ≥ 5, de groupes simples non abéliens essentiels à la classification des groupes.