Die alternierende Gruppe A_n ist die Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_n, die aus allen geraden Permutationen besteht (die sich als gerade Zahl von Transpositionen darstellen lassen); sie hat Index zwei in S_n und Ordnung n!/2 für n ≥ 2.

Prinzip

A_n ist der Kern des Signum-Homomorphismus sgn: S_n → {±1}, sodass die Parität von Permutationen S_n in zwei Nebenklassen (gerade und ungerade) gliedert; für n ≥ 3 wird A_n von 3-Zyklen erzeugt und für n ≥ 5 ist A_n ein nichtabelscher einfacher Gruppe.

Demonstration

A_4 enthält die Identität und die aus Doppeltranspositionen/3-Zyklen stammenden geraden Permutationen und hat 12 Elemente; A_5 hat 60 Elemente und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe, was zeigt, wie alternierende Gruppen 'gerade' Symmetrien erfassen.

Fehlanwendung

Anzunehmen, A_n sei abelsch oder alle in A_n enthaltenen Untergruppen seien normal, ist falsch; auch die Paritätsverwechslung durch Betrachtung der Zykluslänge statt der Permutationsparität führt zu Fehlern.

Konsequenz

A_n liefert wichtige Beispiele einfacher Gruppen (n ≥ 5), definiert einen natürlichen, normalem Untergruppe vom Index zwei in S_n und ist zentral bei Untersuchungen zur Einfachheit, zu Gruppenwirkungen und in der Galoistheorie, wenn Paritätsbedingungen relevant sind.

Umkehrung

Das Komplement von A_n in S_n enthält alle ungeraden Permutationen; die Umkehr der Parität ergibt die Nebenklasse der ungeraden Permutationen, die kein Untergruppe bildet. Nur ungerade Permutationen zu betrachten erzeugt keinen Untergruppe, zeigt jedoch die Nebenklassenstruktur.

Abgrenzung

Für n < 2 degenerieren Definitionen: A_0 und A_1 sind konventionell trivial, A_2 ist trivial; Eigenschaften wie Erzeugung durch 3-Zyklen oder Einfachheit gelten nur in bestimmten Bereichen (≥3 für Erzeugung durch 3-Zyklen, ≥5 für Einfachheit). Ausgeschlossen sind Paritätsbegriffe in anderen Kategorien ohne Vorzeichenabbildung.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der alternierenden Gruppe als algebraisch definiertem Kern des Signums und geometrischen Vorstellungen orientierungserhaltender Symmetrien; beide erfassen 'Geradheit', können sich aber in zusätzlich erhaltenen Strukturen (Orientierung vs Permutationsparität) unterscheiden.

Synthese

A_n ist die Untergruppe der geraden Permutationen von S_n: der Kern der Signum-Abbildung, Index zwei und für n ≥ 3 von 3-Zyklen erzeugt; für n ≥ 5 bildet sie nichtabelsche einfache Gruppen und stellt damit ein zentrales Beispiel in der Gruppentheorie dar.