El Grupo Alternante A_n es el subgrupo del grupo simétrico S_n formado por todas las permutaciones pares (las expresables como un número par de transposiciones); tiene índice dos en S_n y orden n!/2 para n ≥ 2.

Principio

A_n es el núcleo del homomorfismo signo sgn: S_n → {±1}, por lo que la paridad de las permutaciones organiza S_n en dos cosets (pares e impares); para n ≥ 3 A_n está generado por 3-ciclos y para n ≥ 5 es un grupo simple no abeliano.

Demostración

A_4 contiene la identidad y las permutaciones pares derivadas de dobles transposiciones/3-ciclos, teniendo 12 elementos; A_5 tiene 60 elementos y es el menor grupo simple no abeliano, ilustrando cómo los grupos alternantes capturan la simetría 'par'.

Aplicación incorrecta

Suponer que A_n es abeliano o que todos los subgrupos de S_n contenidos en A_n son normales es incorrecto; confundir la paridad tratando la longitud de un ciclo como la paridad de la permutación conduce a errores.

Consecuencia

A_n ofrece ejemplos clave de grupos simples (n ≥ 5), determina un subgrupo normal de índice dos en S_n y es central en los estudios de simplicidad, acciones de grupo y teoría de Galois donde la paridad es relevante.

Inversión

El complemento de A_n en S_n contiene todas las permutaciones impares; invertir la paridad produce la clase lateral de permutaciones impares que no es un subgrupo. Considerar solo permutaciones impares no genera un subgrupo pero muestra la estructura en cosets.

Límite

Para n < 2 las definiciones se degeneran: A_0 y A_1 son triviales por convención, A_2 es trivial; propiedades como generación por 3-ciclos o simplicidad solo se sostienen en rangos especificados (≥3 para generación por 3-ciclos, ≥5 para simplicidad). Quedan excluidas nociones de paridad en otras categorías sin una aplicación signo.

Tensión semántica

Existe tensión entre el grupo alternante como núcleo algebraico del signo y las nociones geométricas de simetrías que preservan orientación; ambos captan la 'paridad' pero pueden diferir en estructuras adicionales preservadas (orientación vs paridad de permutación).

Síntesis

A_n es el subgrupo de permutaciones pares de S_n: el núcleo del morfismo signo, de índice dos y generado por 3-ciclos para n ≥ 3; para n ≥ 5 proporciona ejemplos de grupos simples no abelianos esenciales en la teoría de grupos.