Un sous-groupe N d'un groupe G tel que pour tout g dans G et n dans N, le conjugué gng^{-1} appartient à N ; équivalemment, les classes à gauche coïncident avec les classes à droite et N est invariant par conjugaison par G.

Principe

La normalité est la condition d'invariance nécessaire pour construire un quotient bien défini : un sous-groupe doit être stable sous les symétries internes du groupe (conjugaison) afin que la multiplication des classes soit cohérente.

Démonstration

Dans tout groupe abélien, tout sous-groupe est normal car gng^{-1}=n pour tout g ; dans le groupe symétrique S3 le sous-groupe A3 est normal, ce qui permet de former le quotient S3/A3.

Mauvaise application

Considérer tout sous-groupe comme normal sans vérifier la fermeture par conjugaison ; par exemple un sous-groupe d'indice deux est toujours normal, mais un sous-groupe d'indice plus élevé ne l'est pas nécessairement, et supposer la normalité peut entraîner des constructions de quotients incorrectes.

Conséquence

Les sous-groupes normaux permettent la construction de groupes quotient et l'étude de la structure par suites exactes ; ce sont les noyaux des homomorphismes et ils organisent les groupes en extensions.

Inversion

Un sous-groupe non normal ne permet pas de produire un groupe de classes modulo le sous-groupe pour l'opération ambiante ; les classes à gauche et à droite diffèrent et l'opération sur les classes est mal définie.

Limite

La normalité est une propriété relative au groupe parent G et à son action par conjugaison ; être normal dans G n'implique pas être normal dans un groupe plus grand, et la normalité interagit avec l'indice, la génération et le groupe des automorphismes.

Tension sémantique

À distinguer des sous-groupes caractéristiques (invariants par tous les automorphismes) et des ensembles invariants ; la normalité est plus faible que la caractéristique et plus forte que la simple appartenance, mais dépend de l'action ambiante.

Synthèse

Un sous-groupe normal est un sous-groupe fixe par conjugaison du groupe parent, condition nécessaire et suffisante pour former un groupe quotient et pour apparaître comme noyau d'un homomorphisme.