Un subgrupo N de un grupo G tal que para todo g en G y n en N el conjugado gng^{-1} pertenece a N; equivalentemente, las clases laterales izquierdas coinciden con las derechas y N es invariante por conjugación por G.

Principio

La normalidad es la condición de invariancia necesaria para formar un cociente bien definido: un subgrupo debe ser estable bajo las simetrías internas del grupo (conjugación) para que la multiplicación de clases sea consistente.

Demostración

En cualquier grupo abeliano todo subgrupo es normal porque gng^{-1}=n para todo g; en el grupo simétrico S3 el subgrupo A3 es normal, permitiendo formar el cociente S3/A3.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier subgrupo como normal sin comprobar el cierre por conjugación; por ejemplo, un subgrupo de índice dos es siempre normal, pero uno de índice mayor no tiene por qué serlo, y asumir normalidad puede llevar a construcciones de cocientes incorrectas.

Consecuencia

Los subgrupos normales permiten la construcción de grupos cociente y el estudio de la estructura mediante sucesiones exactas; son núcleos de homomorfismos y organizan grupos en extensiones.

Inversión

Un subgrupo no normal no produce un grupo de clases bajo la operación ambiente; las clases izquierdas y derechas difieren y la operación en las clases no está bien definida.

Límite

La normalidad es una propiedad relativa al grupo parent G y su acción por conjugación; ser normal en G no implica ser normal en un grupo mayor, y la normalidad interactúa con el índice, la generación y el grupo de automorfismos.

Tensión semántica

A distinguir de subgrupos característicos (invariantes por todos los automorfismos) y subconjuntos invariantes; la normalidad es más débil que la característica y más fuerte que la pertenencia a un subgrupo, pero depende de la acción ambiente.

Síntesis

Un subgrupo normal es un subgrupo fijado por conjugación del grupo padre; es la condición necesaria y suficiente para formar un grupo cociente y para aparecer como núcleo de un homomorfismo.