Eine Untergruppe N einer Gruppe G, so dass für jedes g in G und n in N das Konjugat gng^{-1} in N liegt; äquivalent sind linke Nebenklassen gleich rechten Nebenklassen und N ist invariant unter Konjugation durch G.

Prinzip

Normalität ist die Invarianzbedingung, die benötigt wird, um einen wohldefinierten Quotienten zu bilden: Eine Untergruppe muss unter den inneren Symmetrien der Gruppe (Konjugation) stabil sein, damit die Nebenklassenmultiplikation konsistent ist.

Demonstration

In jeder abelschen Gruppe ist jede Untergruppe normal, da gng^{-1}=n für alle g gilt; in der symmetrischen Gruppe S3 ist die Untergruppe A3 normal, sodass der Quotient S3/A3 gebildet werden kann.

Fehlanwendung

Jede Untergruppe fälschlich als normal behandeln, ohne Konjugationsabschluss zu prüfen; eine Untergruppe vom Index zwei ist zwar stets normal, aber bei höherem Index gilt das nicht notwendigerweise, und Normalitätsannahmen können zu falschen Quotientenkonstruktionen führen.

Konsequenz

Normale Untergruppen erlauben die Konstruktion von Faktorguppen und die Untersuchung der Gruppenstruktur über exakte Folgen; sie sind Kerne von Homomorphismen und ordnen Gruppen als Erweiterungen.

Umkehrung

Eine nicht normale Untergruppe erzeugt keine faktorisierbare Gruppe der Nebenklassen unter der umgebenden Operation; linke und rechte Nebenklassen unterscheiden sich und die Quotientenoperation ist nicht wohldefiniert.

Abgrenzung

Normalität ist eine eigenschaft, die sich auf die übergeordnete Gruppe G und ihre Konjugationswirkung bezieht; in G normal zu sein impliziert nicht Normalität in einer größeren Gruppe, und Normalität hängt mit Index, Erzeugung und Automorphismengruppen zusammen.

Semantische Spannung

Abzugrenzen von charakteristischen Untergruppen (invariant unter allen Automorphismen) und invarianten Mengen; Normalität ist schwächer als Charakteristik und stärker als bloße Untergruppenzugehörigkeit, aber abhängig von der umgebenden Aktion.

Synthese

Eine normale Untergruppe ist eine Untergruppe, die von der Konjugation durch die übergeordnete Gruppe festgehalten wird; sie bildet die notwendige und hinreichende Bedingung zur Bildung eines Faktorraums und erscheint als Kern eines Homomorphismus.