Un sous-ensemble d'un groupe qui est lui-même un groupe pour la même opération binaire, héritant de l'identité et des inverses du groupe ambiant.

Principe

Repérer des sous-ensembles fermés pour l'opération de groupe qui contiennent l'identité et sont fermés par passage aux inverses et à l'opération, de sorte que les axiomes d'un groupe tiennent sans modifier l'opération ambiante.

Démonstration

Dans le groupe des entiers pour l'addition (Z, +), l'ensemble des entiers pairs 2Z est un sous-groupe car il contient 0, est fermé par addition et par inverses additifs.

Mauvaise application

Qualifier un sous-ensemble arbitraire de sous-groupe sans vérifier la fermeture ou la présence des inverses — par exemple, les entiers positifs dans (Z, +) ne forment pas un sous-groupe car ils ne contiennent pas 0 ni d'inverses.

Conséquence

Les sous-groupes permettent d'étudier la structure locale à l'intérieur d'un groupe, de définir des classes à gauche/droite, l'indice et des actions restreintes ; ils constituent les éléments de base pour la normalité, les quotients et les actions de groupe.

Inversion

Un sous-ensemble qui n'est pas fermé par l'opération ou qui manque de l'identité ou des inverses n'est pas un sous-groupe et ne peut pas être considéré comme un groupe pour l'opération ambiante.

Limite

S'applique aux sous-ensembles d'un groupe donné ; la notion exclut les sous-ensembles qui exigeraient une autre opération pour être un groupe et exige la même opération et le même élément neutre que le groupe ambiant.

Tension sémantique

On peut confondre sous-groupes avec sous-monoïdes ou ensembles fermés uniquement par l'opération mais dépourvus d'inverses ; le sous-groupe exige la totalité des axiomes de groupe, le distinguant d'un simple ensemble fermé ou d'un ensemble de génération.

Synthèse

Un sous-groupe est une partie d'un groupe qui satisfait elle-même aux axiomes du groupe pour l'opération héritée, permettant une analyse ciblée de la structure par inclusion et indice.