Un subconjunto de un grupo que a su vez forma un grupo bajo la misma operación binaria, heredando la identidad y los inversos del grupo ambiente.

Principio

Identificar subconjuntos cerrados bajo la operación del grupo que contienen la identidad y están cerrados frente a tomar inversos y la operación, de modo que se cumplan los axiomas de subgrupo sin cambiar la operación ambiente.

Demostración

En el grupo de los enteros bajo la suma (Z, +), el conjunto de enteros pares 2Z es un subgrupo porque contiene 0, está cerrado bajo la suma y bajo los inversos aditivos.

Aplicación incorrecta

Llamar subgrupo a un subconjunto arbitrario sin verificar la clausura o la presencia de inversos — por ejemplo, los enteros positivos en (Z, +) no son subgrupo porque no contienen 0 ni inversos.

Consecuencia

Los subgrupos permiten estudiar la estructura local dentro de un grupo, definir clases laterales, índice y acciones restringidas; son bloques básicos para la normalidad, construcciones de cocientes y acciones de grupo.

Inversión

Un subconjunto que no esté cerrado bajo la operación o carezca de identidad o inversos no es un subgrupo y no puede desempeñar el papel de grupo con la operación ambiente.

Límite

Se aplica a subconjuntos de un grupo dado; la noción excluye subconjuntos que necesitarían otra operación para ser grupo y requiere la misma operación y el mismo elemento neutro que el grupo ambiente.

Tensión semántica

Se confunde con submonoid o conjuntos cerrados solo bajo la operación pero sin inversos; los subgrupos requieren todos los axiomas de grupo, distinguiéndolos de meros conjuntos cerrados o conjuntos generadores.

Síntesis

Un subgrupo es una parte de un grupo que satisface los axiomas de grupo con la operación heredada, posibilitando el análisis focalizado de la estructura mediante inclusión e índice.