Eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst eine Gruppe unter derselben binären Operation bildet und das Einselement sowie Inverse der übergeordneten Gruppe erbt.

Prinzip

Geschlossene Teilmengen für die Gruppenoperation identifizieren, die das Identitätselement enthalten und unter Inversen und der Verknüpfung abgeschlossen sind, sodass die Untergruppenaxiome ohne Änderung der umgebenden Operation gelten.

Demonstration

In der Gruppe der ganzen Zahlen unter Addition (Z, +) ist die Menge der geraden Zahlen 2Z eine Untergruppe, da sie 0 enthält, unter Addition abgeschlossen ist und additive Inverse enthält.

Fehlanwendung

Jede beliebige Teilmenge fälschlich als Untergruppe bezeichnen, ohne Abschluss oder Existenz von Inversen zu prüfen — etwa die positiven ganzen Zahlen in (Z, +) sind keine Untergruppe, weil 0 und Inverse fehlen.

Konsequenz

Untergruppen erlauben die Untersuchung der lokalen Struktur innerhalb einer Gruppe, die Definition von Nebenklassen, Index und eingeschränkten Aktionen; sie sind Bausteine für Normalität, Faktorisierungen und Gruppenwirkungen.

Umkehrung

Eine Teilmenge, die nicht unter der Operation abgeschlossen ist oder Identität bzw. Inverse vermissen lässt, ist keine Untergruppe und kann nicht als Gruppe für die umgebende Operation dienen.

Abgrenzung

Gilt für Teilmengen einer gegebenen Gruppe; der Begriff schließt Teilmengen aus, die eine andere Operation bräuchten, um Gruppe zu sein, und verlangt dieselbe Operation sowie dasselbe Identitätselement wie die umgebende Gruppe.

Semantische Spannung

Verwechslungen treten mit Untermonoid oder lediglich unter der Operation abgeschlossenen Mengen ohne Inverse auf; Untergruppen erfordern vollständige Gruppenaxiome und unterscheiden sich so von bloßen abgeschlossenen Mengen oder Erzeugendenmengen.

Synthese

Eine Untergruppe ist ein Teil einer Gruppe, der unter der geerbten Operation selbst die Gruppenaxiome erfüllt und so eine fokussierte Strukturuntersuchung über Inklusion und Index ermöglicht.