Un théorème qui identifie l'indice analytique d'un opérateur différentiel elliptique sur une variété compacte (l'indice de Fredholm mesurant la différence de dimensions du noyau et du conoyau) à un indice topologique calculé à partir des classes caractéristiques du symbole de l'opérateur en K-théorie, reliant ainsi l'analyse, la topologie et la K-théorie algébrique.

Principe

L'indice analytique d'un opérateur elliptique ne dépend que de la classe en K-théorie de son symbole principal ; cette classe se paire aux classes caractéristiques de la variété pour produire un nombre topologique calculable égal à l'indice analytique de Fredholm.

Démonstration

Sur une variété spin compacte, l'opérateur de Dirac est elliptique ; son indice analytique coïncide avec le genre  (A-hat) de la variété, calculable à partir des classes de Pontryagin. Cette égalité calcule la différence de dimensions des spineurs harmoniques à partir de données purement topologiques.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des opérateurs non elliptiques, à des opérateurs sur des variétés non compactes sans conditions aux limites adaptées, ou assimiler des invariants analytiques dépendant de la métrique (par exemple des valeurs propres) à l'indice topologique.

Conséquence

Fournit un pont permettant de calculer des invariants analytiques (indices d'opérateurs PDE, existence de solutions) par des méthodes topologiques ; impose des contraintes fortes en géométrie, topologie et physique mathématique (par exemple formules d'indice pour anomalies).

Inversion

En sens inverse, les données topologiques d'indice ne déterminent pas le spectre complet d'un opérateur ; de même, des données spectrales analytiques fines peuvent varier alors que l'indice topologique reste invariant.

Limite

Valable pour des opérateurs différentiels elliptiques (ou pseudo-différentiels elliptiques appropriés) sur des variétés compactes éventuellement munies de conditions aux limites ; exclut les équations non elliptiques, les opérateurs de rang infini sans propriété de Fredholm, et les grandeurs analytiques au-delà de l'indice sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Tension entre la notion analytique d'indice (mise en place analytique, dépendante de la théorie de Fredholm) et la notion topologique (classe en K-théorie et classes caractéristiques) ; confusion possible entre l'indice et des invariants spectraux plus fins comme les invariants eta.

Synthèse

Le théorème d'Atiyah–Singer affirme que l'indice de Fredholm d'un opérateur elliptique est égal à un appariement topologique de la classe de son symbole en K-théorie avec des classes caractéristiques de la variété, unifiant les perspectives analytiques, topologiques et algébriques et rendant l'indice calculable par des moyens topologiques.