Un teorema que iguala el índice analítico de un operador diferencial elíptico en una variedad compacta (el índice de Fredholm que mide la diferencia de dimensiones del núcleo y del conúcleo) con un índice topológico calculado a partir de las clases características del símbolo del operador en K-teoría, conectando así análisis, topología y K-teoría algebraica.

Principio

El índice analítico de un operador elíptico depende únicamente de la clase en K-teoría de su símbolo principal; esa clase en K-teoría se empareja con clases características de la variedad para producir un número topológico calculable igual al índice analítico de Fredholm.

Demostración

En una variedad spin compacta, el operador de Dirac es elíptico; su índice analítico coincide con el género  (A-hat) de la variedad, que puede calcularse a partir de las clases de Pontryagin. Esta igualdad calcula la diferencia de dimensiones de los espinores armónicos a partir de datos puramente topológicos.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a operadores no elípticos, a operadores en variedades no compactas sin condiciones de frontera adecuadas, o considerar invariantes analíticos dependientes de la métrica (por ejemplo valores propios) como determinados por el índice topológico.

Consecuencia

Proporciona un puente que permite calcular invariantes analíticos (índices de operadores PDE, existencia de soluciones) mediante métodos topológicos; impone fuertes restricciones en geometría, topología y física matemática (por ejemplo fórmulas de índice para anomalías).

Inversión

Invertido, los datos del índice topológico no determinan el espectro analítico completo de un operador; por el contrario, datos espectrales analíticos finos pueden variar mientras el índice topológico permanece fijo.

Límite

Se aplica a operadores diferenciales elípticos (o pseudo-diferenciales elípticos adecuados) en variedades compactas con condiciones de frontera prescritas cuando proceda; no se aplica a ecuaciones no elípticas, operadores de rango infinito sin la propiedad de Fredholm, ni a cantidades analíticas más allá del índice sin hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Tensión entre la noción analítica de índice (configuración analítica dependiente de la teoría de Fredholm) y la noción topológica (clase en K-teoría y clases características); posible confusión entre el índice y invariantes espectrales más finos como los invariantes eta.

Síntesis

El Teorema de Indice de Atiyah–Singer identifica el índice de Fredholm de un operador elíptico con el apareamiento topológico de su clase de símbolo en K-teoría con las clases características de la variedad, unificando perspectivas analíticas, topológicas y algebraicas y haciendo calculable el índice por medios topológicos.