Un théorème identifiant l’homologie de Hochschild HH_*(A) d’une algèbre commutative lisse A (ou d’une variété algébrique lisse) avec l’algèbre des formes différentielles Ω^*_A via l’application de Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR), reliant ainsi l’algèbre homologique à la géométrie différentielle en situation commutative et lisse.

Principe

L’application HKR envoie la chaîne de Hochschild formée d’un tenseur de fonctions sur le produit extérieur de leurs différentielles ; lorsque A est lisse (et sous des hypothèses de caractéristique adaptées) cette application est un quasi‑isomorphisme, de sorte que l’homologie de Hochschild calcule les formes différentielles ou polyvecteurs de A.

Démonstration

Pour l’algèbre polynomiale k[x1,...,xn] sur un corps de caractéristique zéro, HKR identifie HH_i avec Ω^i (l’espace des i‑formes) : une application explicite envoie f0 ⊗ f1 ⊗ ... ⊗ fi sur f0 df1 ∧ ... ∧ dfi, qui en homologie est un isomorphisme parce que l’algèbre est lisse et régulière.

Mauvaise application

Appliquer HKR en cas singulier ou pour des algèbres non commutatives sans modification est invalide ; assimiler naïvement l’homologie de Hochschild aux formes différentielles en présence de singularités ou en petite caractéristique positive conduit à des erreurs et omet des termes dérivés ou correctifs nécessaires.

Conséquence

HKR permet des calculs concrets de l’homologie de Hochschild et cyclique pour des algèbres commutatives lisses, relie ces invariants à la cohomologie de de Rham et aux classes caractéristiques, et motive des généralisations dérivées et non commutatives lorsque l’hypothèse de lissité est relâchée.

Inversion

L’échec de l’isomorphisme HKR signale des singularités ou la noncommutativité : lorsque l’homologie de Hochschild diverge des formes différentielles, on détecte un comportement non régulier, et des raffinements dérivés/HKR cherchent à rétablir une identification au sens dérivé.

Limite

Nécessite la lissité (régularité) de l’algèbre commutative ou de la variété et habituellement la caractéristique zéro ou un contrôle des torsions ; en contextes singuliers, dérivés ou non commutatifs l’énoncé naïf échoue et il faut employer HKR dérivé, complexes de Hochschild ou remplacer les formes par des complexes appropriés.

Tension sémantique

Voisin mais distinct des résultats qui identifient l’homologie cyclique à la cohomologie de de Rham ou des formalismes de Tsygan en géométrie non commutative : HKR est spécifique à l’homologie de Hochschild dans le cas commutatif lisse, tandis que les théories cycliques et non commutatives exigent structures et corrections supplémentaires.

Synthèse

Le théorème HKR affirme que pour une algèbre commutative lisse le complexe de Hochschild se ramène au complexe de de Rham : l’application HKR réalise l’homologie de Hochschild comme l’algèbre des formes différentielles, transformant un invariant homologique abstrait en données différentielles concrètes et marquant la frontière où des corrections dérivées ou non commutatives sont nécessaires.