Un teorema que identifica la homología de Hochschild HH_*(A) de una álgebra conmutativa lisa A (o de una variedad algebraica lisa) con el álgebra de formas diferenciales Ω^*_A mediante la aplicación de Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR), vinculando así el álgebra homológica con la geometría diferencial en el caso conmutativo y liso.

Principio

La aplicación HKR envía una cadena de Hochschild formada por tensores de funciones al producto exterior de sus diferenciales, y cuando A es lisa (y bajo hipótesis de característica apropiadas) esta aplicación es un cuasi‑isomorfismo, por lo que la homología de Hochschild calcula formas diferenciales o datos de polyvectores de A.

Demostración

Para la álgebra polinómica k[x1,...,xn] sobre un campo de característica cero, HKR identifica HH_i con Ω^i (el espacio de i‑formas): una aplicación explícita envía f0 ⊗ f1 ⊗ ... ⊗ fi a f0 df1 ∧ ... ∧ dfi, que en homología es un isomorfismo porque la álgebra es lisa y regular.

Aplicación incorrecta

Aplicar HKR en contextos singulares o para álgebras no conmutativas sin modificación no es válido; equiparar ingenuamente la homología de Hochschild con formas diferenciales en presencia de singularidades o en característica positiva pequeña lleva a conclusiones incorrectas y omite términos derivados o correctivos necesarios.

Consecuencia

HKR permite cálculos concretos de homología de Hochschild y homología cíclica para álgebras conmutativas lisas, conecta estos invariantes con la cohomología de de Rham y clases características, y motiva generalizaciones derivadas y no conmutativas cuando se debilita la hipótesis de liso.

Inversión

El fallo del isomorfismo HKR indica singularidades o no conmutatividad: cuando la homología de Hochschild difiere de las formas diferenciales se detecta comportamiento no regular, y los refinamientos derivados/HKR intentan restaurar una identificación en sentido derivado.

Límite

Requiere liso (regularidad) de la álgebra conmutativa o variedad y usualmente característica cero o control de torsión; en contextos singulares, derivados o no conmutativos la afirmación ingenua falla y hay que usar HKR derivado, complejos de Hochschild o reemplazar las formas por complejos apropiados.

Tensión semántica

Cercano pero distinto de resultados que identifican la homología cíclica con la cohomología de de Rham o del formalismo de Tsygan en geometría no conmutativa: HKR es específico para la homología de Hochschild en el caso conmutativo y liso, mientras que las teorías cíclicas y no conmutativas requieren estructuras y correcciones adicionales.

Síntesis

El teorema HKR afirma que para una álgebra conmutativa lisa el complejo de Hochschild colapsa al complejo de de Rham: la aplicación HKR realiza la homología de Hochschild como el álgebra de formas diferenciales, convirtiendo un invariante homológico abstracto en datos diferenciales concretos y marcando el límite en el que son necesarias correcciones derivadas o no conmutativas.