Une correspondance en théorie des représentations modulaires qui relie les blocs d'une algèbre de groupe finie sur un corps de caractéristique p aux blocs de l'algèbre de groupe du normalisateur d'un p-sous-groupe (le groupe de défaut), en utilisant l'homomorphisme de Brauer et connectant ainsi la décomposition en blocs globale à la structure locale des sous-groupes.

Principe

Principe local-vers-global du défaut : un bloc B de kG de groupe de défaut P possède un correspondant de Brauer, un bloc b de kN_G(P) de défaut P obtenu via l'application de Brauer sur les idempotents centraux ; la fusion, les groupes de défaut et la structure locale gouvernent la correspondance des blocs.

Démonstration

Si B est un p-bloc de kG de groupe de défaut P, son correspondant de Brauer est un bloc b de kN_G(P) de même défaut tel que l'homomorphisme de Brauer envoie l'idempotent central de B sur celui de b ; dans le cas de groupes de défaut cycliques cette correspondance est explicite et simplifie fortement l'analyse des blocs.

Mauvaise application

Appliquer la correspondance sans discernement en caractéristique zéro ou à des algèbres où p ne divise pas |G|, ou supposer une bijectivité ou une unicité sans vérifier la stabilité par fusion et les hypothèses nécessaires à l'existence d'un correspondant de Brauer.

Conséquence

Permet de réduire des questions sur les blocs globaux à des données locales de sous-groupes et est fondamentale pour formuler et tester des conjectures local–globales en théorie des représentations modulaires, telles que celles reliant caractères, sources et équivalences entre blocs.

Inversion

Tenter de reconstruire un bloc global de façon unique à partir d'un bloc local quelconque de N_G(P) sans données de compatibilité ni contraintes de fusion échoue en général ; la correspondance n'est pas une reconstruction globale simple mais une correspondance locale contrôlée sous conditions de défaut.

Limite

Concerne la théorie des représentations modulaires sur un corps de caractéristique p divisant |G| ; il porte sur des blocs munis de groupes de défaut spécifiés et utilise l'homomorphisme de Brauer ; il ne s'applique pas dans des contextes semi-simples en caractéristique zéro ni en dehors du cadre modulaire.

Tension sémantique

Une tension apparaît entre la correspondance de Brauer et des conjectures locales–globales plus larges (Alperin, Broué, etc.), et entre la map de Brauer en tant qu'homomorphisme algébrique et les correspondances au niveau des blocs qui exigent des hypothèses structurelles supplémentaires pour l'existence ou l'unicité.

Synthèse

La correspondance de Brauer relie un p-bloc global à un bloc local du normalisateur de son groupe de défaut via l'homomorphisme de Brauer : les groupes de défaut et les données de fusion déterminent quels blocs locaux correspondent, permettant d'étudier des problèmes modulaires par la structure locale des sous-groupes.