Una correspondencia en teoría de representaciones modulares que relaciona bloques de la álgebra de grupo de un grupo finito sobre un campo de característica p con bloques de la álgebra de grupo del normalizador de un p-subgrupo (el grupo de defecto), usando el homomorfismo de Brauer y conectando así la descomposición en bloques global con la estructura local de subgrupos.

Principio

Principio local-a-global del defecto: un bloque B de kG con grupo de defecto P tiene un correspondiente de Brauer b en kN_G(P) con defecto P, obtenido mediante la aplicación de Brauer sobre idempotentes centrales; la fusión, los grupos de defecto y la estructura local gobiernan cómo se corresponden los bloques.

Demostración

Si B es un p-bloque de kG con grupo de defecto P, su correspondiente de Brauer es un bloque b de kN_G(P) con defecto P tal que el homomorfismo de Brauer envía el idempotente central de B al de b; en casos de grupos de defecto cíclicos esta correspondencia es explícita y simplifica mucho el análisis de bloques.

Aplicación incorrecta

Aplicar la correspondencia indiscriminadamente en característica cero o a álgebras donde p no divide |G|, o asumir biyectividad o unicidad sin comprobar la estabilidad por fusión y las hipótesis necesarias para la existencia de un correspondiente de Brauer.

Consecuencia

Permite reducir cuestiones sobre bloques globales a datos locales de subgrupos y es fundamental para formular y probar conjeturas local–global en teoría de representaciones modulares, como las relacionadas con caracteres, fuentes y equivalencias entre bloques.

Inversión

Intentar reconstruir un bloque global de forma única a partir de un bloque local cualquiera de N_G(P) sin datos de compatibilidad ni restricciones de fusión fracasa en general; la correspondencia no es un mapa de reconstrucción global simple, sino una correspondencia local controlada bajo condiciones de defecto.

Límite

Se refiere a la teoría de representaciones modulares sobre un campo de característica p que divide |G|; trata bloques con grupos de defecto especificados y utiliza el homomorfismo de Brauer; no se aplica en entornos semisimple en característica cero ni fuera del marco modular.

Tensión semántica

Aparece tensión entre la correspondencia de Brauer y conjeturas local–global más amplias (Alperin, Broué, etc.), y entre el mapa de Brauer como homomorfismo algebraico y correspondencias a nivel de bloques que requieren hipótesis estructurales adicionales para existencia o unicidad.

Síntesis

La correspondencia de Brauer une un p-bloque global con un bloque local del normalizador de su grupo de defecto mediante el homomorfismo de Brauer: los grupos de defecto y los datos de fusión determinan qué bloques locales corresponden, permitiendo estudiar problemas modulares a través de la estructura local de subgrupos.