Un anneau commutatif dans lequel il existe deux idéaux premiers p ⊂ q pour lesquels des chaînes saturées d'idéaux premiers entre p et q ont des longueurs finies différentes ; en d'autres termes, l'anneau viole la propriété caténaire qui exige l'uniformité des longueurs entre deux premiers comparables.

Principe

La caténarité impose une uniformité des hauteurs : entre deux premiers comparables, les longueurs des chaînes maximales doivent être indépendantes du choix de la chaîne. Un anneau non caténaire viole cette uniformité, rendant la notion de hauteur irrégulière.

Démonstration

Il existe des exemples explicites d'anneaux intègres noethériens conçus pour être non caténaires ; dans un tel anneau on trouve des premiers p ⊂ q et deux chaînes maximales p = p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pr = q et p = q0 ⊂ q1 ⊂ ... ⊂ qs = q avec r ≠ s, montrant des longueurs inégales entre les mêmes extrémités.

Mauvaise application

Supposer des formules de théorie de la dimension qui reposent sur la caténarité (par exemple identifier les différences de dimension avec des hauteurs calculées le long de chaînes quelconques), ou utiliser une intuition géométrique selon laquelle les dimensions des localisés varient de manière prévisible, conduit à des conclusions erronées en contexte non caténaire.

Conséquence

La théorie de la dimension devient plus subtile : les calculs de hauteurs relatives, les assertions d'équidimensionnalité et de nombreux raisonnements sensibles à la dimension requièrent la vérification de l'indépendance par rapport aux chaînes ; certaines formules de dimension peuvent échouer ou nécessiter des hypothèses supplémentaires.

Inversion

Un anneau caténaire, pour lequel, entre toute paire d'idéaux premiers comparables, toute chaîne saturée entre eux a la même longueur, ce qui simplifie la théorie de la dimension et le calcul des hauteurs.

Limite

Cette notion s'applique aux chaînes d'idéaux premiers dans les anneaux commutatifs et est une condition purement liée aux idéaux premiers et à la dimension ; elle n'implique pas directement la noethérianité, la régularité ou d'autres conditions de finitude, bien que ces notions interagissent. La non-caténarité se concentre sur la non-uniformité des longueurs de chaînes et exclut d'autres pathologies indépendantes des modules ou du radical.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la caténarité et des notions apparentées telles que l'équidimensionnalité ou la propriété de Cohen–Macaulay ; un anneau peut être équidimensionnel tout en échouant à être caténaire, et la caténarité est indépendante de certaines conditions de finitude, faisant coexister des intuitions concurrentes sur la notion de « dimension bien comportée ».

Synthèse

Un Anneau Non Caténaire est un anneau où l'uniformité attendue des longueurs de chaînes d'idéaux premiers se brise : entre les mêmes premiers on peut trouver des chaînes maximales de longueurs distinctes, ce qui impose des vérifications locales précises dans les arguments de théorie de la dimension au lieu de s'appuyer sur une invariance globale des longueurs.