Un anillo conmutativo en el que existen dos ideales primos p ⊂ q tales que las cadenas saturadas de ideales primos entre p y q tienen longitudes finitas distintas; en otras palabras, el anillo no cumple la propiedad catenaria que exige uniformidad de longitudes entre dos primos comparables.

Principio

La catenaridad exige uniformidad de alturas: entre dos primos comparables las longitudes de cadenas máximas deben ser independientes de la cadena elegida. Un Anillo No Catenario rompe esa uniformidad, de modo que la noción de altura se comporta irregularmente.

Demostración

Existen ejemplos explícitos (incluidos algunos dominios íntegros noetherianos) construidos para ser no catenarios; en dichos anillos se encuentran primos p ⊂ q y dos cadenas máximas p = p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pr = q y p = q0 ⊂ q1 ⊂ ... ⊂ qs = q con r ≠ s, mostrando longitudes diferentes entre los mismos extremos.

Aplicación incorrecta

Asumir fórmulas de teoría de la dimensión que requieren catenaridad (por ejemplo, igualar diferencias de dimensión con alturas calculadas a lo largo de cadenas arbitrarias) o aplicar intuiciones geométricas sobre cómo cambian las dimensiones de las localizaciones puede conducir a conclusiones erróneas en contextos no catenarios.

Consecuencia

La teoría de la dimensión se vuelve más sutil: los cálculos de alturas relativas, las afirmaciones de equidimensionalidad y muchos argumentos sensibles a la dimensión requieren comprobar la independencia respecto de la cadena; algunas fórmulas de dimensión pueden fallar o requerir hipótesis adicionales.

Inversión

Un anillo catenario, donde para cualquier par de ideales primos comparables toda cadena saturada entre ellos tiene la misma longitud, lo que simplifica la teoría de la dimensión y el cálculo de alturas.

Límite

La noción se aplica a las cadenas de ideales primos en anillos conmutativos y es una condición puramente relacionada con ideales primos y dimensión; no implica por sí misma noetherianidad, regularidad u otras condiciones de finitud, aunque interactúan. La no catenaridad se refiere sólo a la no uniformidad de longitudes de cadenas.

Tensión semántica

Existe tensión entre la catenaridad y nociones relacionadas como la equidimensionalidad o la propiedad de Cohen–Macaulay; un anillo puede ser equidimensional y aun así no ser catenario, por lo que diferentes intuiciones sobre una ‘dimensión bien comportada’ compiten.

Síntesis

Un Anillo No Catenario es un anillo donde la uniformidad esperada en las longitudes de cadenas de ideales primos se rompe: entre los mismos primos pueden existir cadenas máximas de longitudes distintas, obligando a comprobaciones locales en argumentos dependientes de la dimensión en lugar de confiar en una invariancia global de longitudes.