Une structure B est une extension élémentaire d'une structure A (même langage du premier ordre) si A est une sous-structure élémentaire de B ; équivalemment, toute formule du premier ordre avec paramètres de A est vraie dans A exactement lorsqu'elle l'est dans B. On inscrit B ≻ A.

Principe

Une extension élémentaire ajoute des éléments (ou interprétations) sans changer la vérité des formules du premier ordre faisant référence aux éléments de la structure d'origine ; elle étend le domaine tout en préservant les propriétés paramétrées du modèle plus petit.

Démonstration

Les ultraproduits sont des exemples canoniques : pour toute structure A et tout ultrafiltre non principal U, l'ultraproduit A^I/U est une extension élémentaire de A via la carte diagonale. Des éléments nouveaux apparaissent dans l'ultraproduit mais toutes les formules avec paramètres de A conservent leur valeur de vérité.

Mauvaise application

Confondre extension simple (A ⊆ B) et extension élémentaire ; par exemple, ajouter des constantes ou des éléments arbitrairement pour former B ne garantit pas l'élémentarité — des assertions existentielles peuvent devenir vraies dans B alors qu'elles étaient fausses dans A.

Conséquence

Les extensions élémentaires permettent des arguments de saturation, la réalisation de types absents de A et le transfert contrôlé de théories ; elles sont centrales pour construire des modèles de cardinalités ou de propriétés de saturation voulues tout en conservant la théorie paramétrée du modèle d'origine.

Inversion

L'inverse est la notion de sous-structure élémentaire d'un modèle donné ; renverser la perspective souligne qu'une extension élémentaire peut ajouter des réalisations de types non présentes auparavant, tandis qu'une extension non élémentaire modifie des valeurs de vérité pour certaines formules à paramètres originaux.

Limite

Limitée au cadre du premier ordre et aux structures du même langage ; l'existence d'extensions élémentaires avec des propriétés particulières dépend de la compacité, des théorèmes de Löwenheim–Skolem et des constructions par ultraproduit ; on ne peut obtenir toute propriété souhaitée sans hypothèses supplémentaires d'ensemble.

Tension sémantique

Tension entre « extension conservatrice » de théories et extension élémentaire de modèles : une extension conservatrice préserve les théorèmes d'une théorie dans un langage, alors qu'une extension élémentaire préserve la vérité des formules avec paramètres dans un modèle particulier ; notions liées mais distinctes.

Synthèse

Une extension élémentaire est une sur-structure qui agrandit le domaine d'un modèle tout en préservant la vérité de toutes les formules du premier ordre avec paramètres provenant du modèle original, permettant d'ajouter des éléments de façon contrôlée sans altérer les propriétés paramétrées du premier ordre.