Eine Struktur B ist eine elementare Erweiterung einer Struktur A (gleiche erste-Ordnung-Sprache), wenn A eine elementare Teilstruktur von B ist; äquivalent: jede erste-Ordnung-Formel mit Parametern aus A gilt in A genau dann in B. Man schreibt B ≻ A.

Prinzip

Eine elementare Erweiterung fügt Elemente (oder Interpretationen) hinzu, ohne die Wahrheit erster-Ordnung-Formeln mit Bezügen auf die ursprünglichen Elemente zu ändern; sie vergrößert die Domäne bei Erhalt aller parametrierten Eigenschaften des kleineren Modells.

Demonstration

Ultraprodukte liefern klassische Beispiele: Für jede Struktur A und ein nicht-prinzipales Ultrafiltrer U ist das Ultraprodukt A^I/U eine elementare Erweiterung von A über die diagonale Einbettung. Neue Elemente erscheinen im Ultraprodukt, doch alle Formeln mit Parametern aus A behalten ihren Wahrheitswert.

Fehlanwendung

Bloße Erweiterung (A ⊆ B) mit elementarer Erweiterung zu verwechseln; etwa durch willkürliches Hinzufügen von Konstanten oder Elementen entsteht nicht notwendigerweise eine elementare Erweiterung — existentielle Aussagen können in B wahr werden, die in A falsch waren.

Konsequenz

Elementare Erweiterungen erlauben Sättigungsargumente, die Realisierung von in A fehlenden Typen und kontrollierten Theorie-Transfer; sie sind zentral beim Aufbau von Modellen mit gewünschten Mächtigkeiten oder Sättigungseigenschaften unter Bewahrung der parametrisierten Theorie des Ausgangsmodells.

Umkehrung

Die Umkehrung ist die elementare Teilstruktur eines gegebenen Modells; aus umgekehrter Perspektive zeigt sich, dass eine elementare Erweiterung Realisierungen von Typen hinzufügen kann, die zuvor nicht vorhanden waren, während eine nicht-elementare Erweiterung Wahrheitswerte für Formeln mit ursprünglichen Parametern ändert.

Abgrenzung

Beschränkt auf erste-Ordnung-Kontexte und Strukturen in derselben Sprache; die Existenz elementarer Erweiterungen mit bestimmten Eigenschaften hängt von Kompaktheit, Löwenheim–Skolem und Ultraprodukt-Konstruktionen ab; nicht jede gewünschte Eigenschaft ist ohne zusätzliche mengen- theoretische Annahmen erreichbar.

Semantische Spannung

Spannung zwischen »konservativer Erweiterung« von Theorien und elementarer Erweiterung von Modellen: Eine konservative Theorieerweiterung erhält Sätze im betrachteten Sprachbereich, während eine elementare Modellerweiterung Wahrheiten mit Parametern in einem bestimmten Modell erhält; verwandt, aber verschieden.

Synthese

Eine elementare Erweiterung ist eine Überstruktur, die die Domäne eines Modells vergrößert und gleichzeitig die Wahrheit aller ersten-Ordnung-Formeln mit Parametern des Ursprungsmodells bewahrt, sodass zusätzliche Elemente kontrolliert hinzugefügt werden können, ohne parametrierte Eigenschaften zu verändern.