Un ensemble de phrases dans un langage logique fixé, typiquement clos sous conséquence logique, dont les membres servent d'axiomes ou de conséquences caractérisant une classe de modèles.

Principe

Une théorie organise des engagements syntaxiques : elle précise quelles phrases sont acceptées comme vraies et détermine la classe des structures qui satisfont ces phrases.

Démonstration

La théorie du premier ordre des groupes comprend les axiomes des groupes ; la théorie complète des corps réels contient toutes les phrases du premier ordre vraies dans les réels munis de la structure de corps.

Mauvaise application

Assimiler une théorie à une seule présentation finie sans reconnaître la clôture par conséquence logique, ou traiter un ensemble d'hypothèses informelles comme une théorie formelle, est une mauvaise application.

Conséquence

Travailler avec une théorie permet de déduire des phrases par conséquence logique, de comparer l'expressivité et d'aborder la complétude, la décidabilité et les classes de modèles déterminées par la théorie.

Inversion

Au lieu de partir des phrases et de chercher des modèles, inverser la perspective en partant d'une classe de structures et en recherchant la théorie de toutes les phrases qui y sont vraies (la théorie de la classe).

Limite

Désigne généralement une théorie dans un langage et une logique formels spécifiés (par ex. premier ordre) ; exclut les systèmes d'axiomes informels non clos par conséquence logique et les cadres requérant des langages du ordre supérieur ou infinitaires sauf indication contraire.

Tension sémantique

Il existe une tension entre « axiomatization » (un ensemble générateur de phrases) et la théorie entière close sous conséquence ; l'une met l'accent sur les générateurs, l'autre sur la clôture complète.

Synthèse

Une théorie est le lieu syntaxique d'un sujet mathématique : un ensemble de phrases clos sous conséquence qui encode des hypothèses et détermine la classe sémantique des modèles décrits par ces phrases.