Lemme en théorie des modules et algèbre linéaire affirmant que pour un endomorphisme f d'un module de longueur finie M (ou d'un espace vectoriel de dimension finie) il existe N tel que M = Ker(f^N) ⊕ Im(f^N); autrement dit M se décompose en une partie nilpotente et une partie sur laquelle f agit comme un automorphisme.

Principe

L'itération d'un endomorphisme sur un module de longueur finie stabilise noyaux et images ; une fois la stabilisation obtenue le module se scinde en l'espace généralisé des éléments tués et en l'espace généralisé où f est unité, reflétant la dichotomie nilpotente/automorphe.

Démonstration

Exemple concret : sur un espace vectoriel de dimension finie une application linéaire admet une décomposition de Jordan ; en prenant N supérieur à la taille maximale des blocs de Jordan d'autovaleur 0 on obtient la décomposition Ker(f^N) ⊕ Im(f^N).

Mauvaise application

Appliquer le lemme de Fitting à des modules sans longueur finie ou à des opérateurs sur espaces de dimension infinie sans vérifier la stabilisation des noyaux et images ; supposer la décomposition sans l'hypothèse de finitude peut échouer.

Conséquence

Fournit une scission canonique utilisée dans la théorie de la structure (décomposition des modules, décomposition primaire, classification des opérateurs linéaires) et donne un contrôle des sous‑modules invariants et du comportement des endomorphismes modulo la partie nilpotente.

Inversion

Réciproquement, si un module se scinde en somme directe d'un sous‑module nilpotent et d'un sous‑module f‑invariant sur lequel f est inversible, alors des puissances appropriées de f réalisent la décomposition ; le lemme et sa réciproque caractérisent cette scission en contexte de longueur finie.

Limite

Nécessite la longueur finie (ou des conditions noethériennes/artiniennes) pour assurer la stabilisation ; ne s'applique pas automatiquement aux modules infinis quelconques ni aux opérateurs dépourvus de stabilisation noyau/image.

Tension sémantique

Souvent comparé à la décomposition de Jordan–Chevalley ou primaire : le lemme de Fitting vise la dichotomie nilpotente/ unité pour un seul endomorphisme sur modules de longueur finie, tandis que Jordan–Chevalley sépare parties semi‑simples et nilpotentes en caractéristique zéro.

Synthèse

Le lemme de Fitting met en évidence le phénomène de longueur finie selon lequel l'application répétée d'un endomorphisme scinde le module en noyau nilpotent et complément inversible, offrant une décomposition pratique et canonique pour l'étude des modules et opérateurs.