Lema en teoría de módulos y álgebra lineal que afirma que para un endomorfismo f de un módulo M de longitud finita (o de un espacio vectorial de dimensión finita) existe N tal que M = Ker(f^N) ⊕ Im(f^N); equivalentemente, M se descompone en una parte nilpotente y una parte sobre la que f actúa invertiblemente.

Principio

La iteración de un endomorfismo en un módulo de longitud finita estabiliza núcleos e imágenes; una vez que ocurre la estabilización el módulo se divide en el núcleo generalizado nilpotente y el espacio generalizado unitario, reflejando la dicotomía nilpotente/automorfa.

Demostración

Ejemplo concreto: en un espacio vectorial de dimensión finita un operador lineal tiene descomposición de Jordan; tomando N mayor que el tamaño máximo de los bloques de Jordan con valor propio 0 se obtiene la descomposición Ker(f^N) ⊕ Im(f^N).

Aplicación incorrecta

Aplicar el lema de Fitting a módulos sin longitud finita o a operadores en espacios infinitodimensionales sin verificar la estabilización de núcleos e imágenes; suponer la descomposición sin la hipótesis de finitud puede fallar.

Consecuencia

Proporciona una división canónica usada en teoría de la estructura (descomposición de módulos, descomposición primaria, clasificación de operadores lineales) y permite controlar submódulos invariantes y el comportamiento de endomorfismos modulo la parte nilpotente.

Inversión

A la inversa, si un módulo se descompone como suma directa de un submódulo nilpotente y un submódulo f‑invariante sobre el que f es invertible, entonces potencias apropiadas de f realizan la descomposición; el lema y su inversa caracterizan la separación en contextos de longitud finita.

Límite

Requiere longitud finita (o condiciones noetherianas/artinianas) para asegurar la estabilización; no se aplica automáticamente a módulos infinitos arbitrarios ni a operadores sin estabilización eventual de núcleo/imagen.

Tensión semántica

A menudo se compara con la descomposición de Jordan–Chevalley o la descomposición primaria: el lema de Fitting aborda la dicotomía nilpotente versus unidad para un único endomorfismo en módulos de longitud finita, mientras que Jordan–Chevalley separa partes semisimples y nilpotentes en característica cero.

Síntesis

El lema de Fitting aísla el fenómeno de longitud finita por el que la aplicación reiterada de un endomorfismo separa el módulo en un núcleo nilpotente y un complemento invertible, proporcionando una descomposición práctica y canónica para el análisis de módulos y operadores.