Théorème en théorie des représentations des algèbres de Lie qui affirme que toute algèbre de Lie résoluble de dimension finie de transformations linéaires sur un corps algébriquement clos possède un vecteur propre commun dans l'espace vectoriel sous‑jacent ; équivalemment, les représentations de telles algèbres sont triangulisables.

Principe

La résolubilité limite assez l'action pour produire des sous‑espaces invariants de dimension un ; une application itérative donne un drapeau complet de sous‑espaces invariants et donc une base dans laquelle les opérateurs sont triangulaires supérieurs.

Démonstration

Exemple concret : une sous‑algèbre résoluble de gl_n(C) se conjugue dans l'algèbre des matrices triangulaires supérieures ; on trouve un vecteur propre commun et on réduit par induction sur la dimension pour trianguler la représentation.

Mauvaise application

Utiliser le théorème de Lie sur un corps non algébriquement clos, ou supposer qu'il s'applique à des algèbres non résolubles ou à des représentations de dimension infinie ; par exemple s'attendre à un vecteur propre commun sur les réels pour toute algèbre de Lie résoluble réelle sans complexification est incorrect.

Conséquence

Le théorème entraîne la triangulisation des représentations résolubles, ce qui implique l'existence de séries de composition, simplifie le calcul de caractères et de poids, et sous‑tend des résultats structuraux en théorie des représentations et l'étude des drapeaux invariants.

Inversion

La converse « si une représentation est triangulable alors l'algèbre agissante est résoluble » est vraie en contexte de dimension finie, de sorte que triangulabilité et résolubilité sont étroitement liées bien que distinctes dans des cadres plus généraux.

Limite

Exige la dimension finie et un corps de base algébriquement clos (énoncé classique sur C) ; il ne tient pas en général sur des corps arbitraires sans modification et échoue pour des algèbres de Lie non résolubles.

Tension sémantique

Parfois confondu avec le théorème d'Engel ou avec des résultats généraux de triangulisation ; la tension porte sur la distinction entre la condition d'existence d'un vecteur propre commun et des conditions plus fortes de nilpotence opératorielle qui garantissent la nilpotence de l'algèbre.

Synthèse

Le théorème de Lie rattache la résolubilité d'une algèbre de Lie à l'existence de sous‑espaces invariants de dimension un dans les représentations linéaires finies sur corps algébriquement clos, produisant des formes triangulaires qui révèlent la structure de composition de la représentation.