Ein Satz der Darstellungstheorie von Lie‑Algebren, der besagt: Jede endlichdimensionale auflösbare Lie‑Algebra von linearen Transformationen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper besitzt einen gemeinsamen Eigenvektor im darunterliegenden Vektorraum; äquivalent sind solche Darstellungen triangulierbar.

Prinzip

Auflösbarkeit schränkt die Wirkung so ein, dass 1‑dimensionale invariante Unterräume entstehen; durch wiederholte Anwendung erhält man eine vollständige Flagge invarianter Unterräume und damit eine Basis, in der die Operatoren obere Dreiecksmatrizen sind.

Demonstration

Konkretes Beispiel: Eine auflösbare Unteralgebra von gl_n(C) ist konjugierbar in die Algebra der oberen Dreiecksmatrizen; man findet einen gemeinsamen Eigenvektor und trianguliert induktiv die Darstellung.

Fehlanwendung

Lies Satz über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper anwenden oder annehmen, er gelte für nicht‑auflösbare Algebren oder unendlichdimensionale Darstellungen; z.B. einen gemeinsamen Eigenvektor über den reellen Zahlen für jede auflösbare reelle Lie‑Algebra erwarten, ohne zu komplexifizieren, ist falsch.

Konsequenz

Der Satz liefert Triangulierbarkeit auflösbarer Darstellungen, was Kompositionsreihen gewährleistet, die Berechnung von Charakteren und Gewichten vereinfacht und Strukturresultate in der Darstellungstheorie sowie die Untersuchung invarianten Flaggen stützt.

Umkehrung

Die Umkehrung ‚ist eine Darstellung triangulierbar, so ist die wirkende Algebra auflösbar‘ ist im endlichdimensionalen Kontext wahr, daher sind Triangulierbarkeit und Auflösbarkeit eng verwandt, wenn auch in allgemeinerem Rahmen verschieden.

Abgrenzung

Setzt Endlichkeitsdimension und einen algebraisch abgeschlossenen Grundkörper voraus (klassisches Ergebnis über C); gilt nicht allgemein über beliebigen Körpern ohne Anpassung und versagt für nicht‑auflösbare Lie‑Algebren.

Semantische Spannung

Wird mitunter mit Engels Satz verwechselt oder mit allgemeinen Triangulierbarkeitsresultaten; die Spannung liegt in der Unterscheidung zwischen der Bedingung eines gemeinsamen Eigenvektors und stärkeren operatorischen Nilpotenzbedingungen, die Nilpotenz der Algebra garantieren.

Synthese

Lies Satz verknüpft die Auflösbarkeit einer Lie‑Algebra mit der Existenz 1‑dimensionaler invarianten Unterräume in endlichdimensionalen linearen Darstellungen über algebraisch abgeschlossenen Körpern und erzeugt so trianguläre Formen, die die Kompositionsstruktur offenlegen.