Résultat en théorie des anneaux et des modules qui caractérise l'action d'un anneau primitif sur un module simple : un sous‑anneau R de End_D(V) agissant fidèlement et irréductiblement sur un espace vectoriel droit V sur un anneau divisionnaire D est dense dans End_D(V) pour la topologie algébrique donnée par les annihilateurs finies; autrement dit R peut réaliser toute application D‑linéaire prescrite sur des tuples finis de vecteurs.

Principe

La primitivité (existence d'un module simple fidèle) force l'anneau agissant à être « grand » à l'intérieur de l'anneau d'endomorphismes complet : le contrôle algébrique des annihilateurs permet d'obtenir des valeurs arbitraires sur des tuples finis, ce qui constitue la notion algébrique de densité ici.

Démonstration

Exemple concret : une algèbre primitive représentée sur un espace vectoriel droit de dimension n sur un anneau divisionnaire D donne un sous‑anneau dense de M_n(D) ; pour des vecteurs et images donnés en nombre fini on construit des éléments de R qui réalisent ces images.

Mauvaise application

Interpréter « densité » comme densité topologique au sens métrique ou de Zariski, ou ignorer les hypothèses de fidélité et de simplicité ; par exemple prétendre à la densité pour une action sur un module réductible ou sans préciser le contexte en anneau divisionnaire est incorrect.

Conséquence

Le théorème établit un pont structural : les anneaux primitifs sont précisément ceux qui s'immergent comme sous‑anneaux denses des anneaux d'endomorphismes complets, ce qui soutient des théorèmes de représentation et des descriptions de type Morita des algèbres primitives.

Inversion

L'inversion « tout sous‑anneau dense de End_D(V) est primitif » est essentiellement vraie sous les hypothèses standards (un sous‑anneau dense agissant irréductiblement et fidèlement donne un anneau primitif), mais négliger irréductibilité ou fidélité rompt cette équivalence.

Limite

Nécessite un espace vectoriel droit sur un anneau divisionnaire (module simple), une action fidèle de l'anneau et la topologie algébrique des annihilateurs sur tuples finis ; ne s'applique pas aux modules possédant des sous‑modules non triviaux, aux anneaux commutatifs sans telles représentations ni à des topologies arbitraires.

Tension sémantique

Le mot « densité » peut être confondu avec la densité analytique ou topologique ; la tension porte sur la différence entre l'approximation algébrique sur tuples finis employée ici et d'autres sens de densité en analyse ou en géométrie algébrique.

Synthèse

Le théorème de densité de Jacobson identifie les anneaux primitifs par leur capacité à approximer tout endomorphisme D‑linéaire sur ensembles finis de vecteurs, égalant ainsi la primitivité du module à la densité algébrique dans l'anneau complet des endomorphismes.