Definición
Resultado en teoría de anillos y módulos que caracteriza cómo actúa un anillo primitivo sobre un módulo simple: un subanillo R de End_D(V) que actúa fiel y totalmente sobre un espacio vectorial derecho V sobre un divisor de cuerpos D es denso en End_D(V) respecto de la topología algebraica dada por anuladores finitos; equivalentemente R puede aproximar cualquier endomorfismo D‑lineal sobre conjuntos finitos de vectores.
Principio
Principio
La primitividad (existencia de un módulo simple fiel) fuerza que el anillo actuante sea 'grande' dentro del anillo completo de endomorfismos: el control algebraico de los anuladores permite alcanzar valores arbitrarios sobre tuplas finitas, que es la noción algebraica de densidad aquí empleada.
Demostración
Demostración
Ejemplo concreto: una álgebra primitiva representada en un espacio derecho de dimensión n sobre un divisor D produce un subanillo denso en M_n(D); dados finitos vectores y objetivos se construyen elementos de R que coinciden con esos objetivos en los vectores dados.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Interpretar 'densidad' como densidad topológica en sentido métrico o de Zariski o ignorar las hipótesis de fidelidad y simplicidad; por ejemplo, afirmar densidad para acciones sobre módulos reducibles o sin el contexto de un divisor de cuerpos es incorrecto.
Consecuencia
Consecuencia
El teorema ofrece un puente estructural: los anillos primitivos son exactamente los que se embeben como subanillos densos del anillo completo de endomorfismos, lo que sustenta teoremas de representación y descripciones tipo Morita de álgebras primitivas.
Inversión
Inversión
Invertir a 'cualquier subanillo denso de End_D(V) es primitivo' es esencialmente cierto bajo las hipótesis estándar (un subanillo denso que actúe irreduciblemente y fielmente produce un anillo primitivo), pero omitir irreducibilidad o fidelidad rompe esta equivalencia.
Límite
Límite
Requiere un espacio vectorial derecho sobre un divisor de cuerpos (módulo simple), acción fiel del anillo y la topología algebraica de anuladores finitos; no se aplica a módulos con submódulos no triviales, a anillos conmutativos sin tales representaciones ni a topologías arbitrarias.
Tensión semántica
Tensión semántica
El término 'densidad' puede confundirse con densidad analítica o topológica; la tensión es entre la aproximación algebraica por tuplas finitas usada aquí y otros sentidos de densidad en análisis o geometría algebraica.
Síntesis
Síntesis
El teorema de densidad de Jacobson identifica los anillos primitivos por su capacidad de aproximar cualquier endomorfismo D‑lineal en conjuntos finitos de vectores, igualando así la primitividad modulular con la densidad algebraica dentro del anillo total de endomorfismos.