Lemme décrivant la relation stable entre les puissances d'un idéal I agissant sur un module de type fini M et un sous‑module N lorsque l'anneau R est noethérien : il existe k ≥ 0 tel que pour tout n ≥ k on ait I^n M ∩ N = I^{n-k}(I^k M ∩ N), fournissant un contrôle uniforme des intersections de filtrations.

Principe

Les filtrations par puissances d'un idéal interagissent avec les sous‑modules de façon uniformément prévisible dès que la finitude noethérienne est satisfaite : à partir d'un stade fini l'intersection se comporte comme une translation d'un sous‑module fixé filtré par les puissances de I.

Démonstration

Pour R noethérien, I un idéal, M = R^r un module libre de type fini et N un sous‑module défini par des relations ; le lemme fournit k tel que pour tout n ≥ k les intersections I^nM∩N sont engendrées par I^{n-k} multiplié par un ensemble fini fixe, utile dans l'étude des complétions et des modules gradués associés.

Mauvaise application

Appliquer Artin–Rees sans l'hypothèse noethérienne ou à des modules non finiment engendrés peut échouer : il peut ne pas exister de k uniforme hors du cadre noethérien et les intersections ne se stabilisent pas de manière prévisible.

Conséquence

Soutient de nombreux résultats sur les complétions, l'exactitude des foncteurs de complétion, le comportement des modules gradués associés et le contrôle des décompositions primaires sous filtrations ; c'est un outil technique rendant maniables arguments limites et complétions.

Inversion

Sans la conclusion d'Artin–Rees, les filtrations par puissances de I pourraient rencontrer un sous‑module de façon erratique sans paramètre de translation uniforme : l'absence du lemme signifie une perte qualitative de contrôle sur les filtrations de modules.

Limite

Suppose R noethérien et M de type fini ; l'idéal I est quelconque. Le lemme ne tient pas en général pour des anneaux non noethériens ni pour des modules sans génération finie.

Tension sémantique

Tension entre Artin–Rees (stabilité des intersections sous filtrations) et résultats apparemment similaires comme le théorème de l'intersection de Krull (sur l'intersection de toutes les puissances) : hypothèses et conclusions diffèrent et ne doivent pas être confondues.

Synthèse

Artin–Rees établit une relation stabilisante uniforme entre les filtrations par puissances d'un idéal et les sous‑modules dans le cadre noethérien et fini, permettant un passage contrôlé aux complétions et aux constructions graduées.