Lema que describe la relación estable entre las potencias de un ideal I que actúan sobre un módulo M finitamente generado y un submódulo N cuando el anillo R es noetheriano: existe k ≥ 0 tal que para todo n ≥ k se cumple I^n M ∩ N = I^{n-k}(I^k M ∩ N), proporcionando control uniforme de las intersecciones de filtraciones.

Principio

Las filtraciones por potencias de un ideal interactúan con submódulos de forma uniformemente predecible una vez que existe finitud noetheriana: tras una etapa finita la intersección se comporta como una versión desplazada de un submódulo fijo filtrado por potencias de I.

Demostración

Sea R noetheriano, I un ideal, M = R^r un módulo libre finitamente generado y N un submódulo dado por relaciones; el lema produce k tal que para todo n ≥ k las intersecciones I^nM∩N se generan por I^{n-k} multiplicado por un conjunto finito fijo, útil en el estudio de completaciones y módulos graduados asociados.

Aplicación incorrecta

Aplicar Artin–Rees sin la hipótesis noetheriana o a módulos no finitamente generados puede fallar: puede no existir un k uniforme en contextos no‑noetherianos y las intersecciones no se estabilizan de modo previsible.

Consecuencia

Sustenta muchos resultados sobre completaciones, exactitud del fonctor de completación, comportamiento de módulos graduados asociados y control de descomposiciones primarias bajo filtraciones; es una herramienta técnica que facilita argumentos límite y de completación.

Inversión

Sin la conclusión de Artin–Rees, las filtraciones por potencias de I podrían intersectar un submódulo de forma errática sin un parámetro de desplazamiento uniforme; la ausencia del lema indica una pérdida cualitativa de control en las filtraciones de módulos.

Límite

Supone que R es noetheriano y M finitamente generado; el ideal I es arbitrario. El lema no se cumple en general para anillos no‑noetherianos ni para módulos sin generación finita.

Tensión semántica

Hay tensión entre Artin–Rees (una afirmación sobre la estabilidad de intersecciones bajo filtraciones) y resultados aparentemente similares como el teorema de la intersección de Krull (sobre la intersección de todas las potencias); sus hipótesis y conclusiones difieren y no deben confundirse.

Síntesis

Artin–Rees proporciona una relación estabilizadora uniforme entre las filtraciones por potencias de un ideal y sus submódulos en el entorno noetheriano y finito, permitiendo un paso controlado a completaciones y construcciones graduadas.