Énoncé sur les homomorphismes entre modules (ou représentations) simples : tout homomorphisme non nul entre modules simples est un isomorphisme ; par conséquent, l'anneau des endomorphismes d'un module simple est un corps à division (et sur un corps algébriquement clos c'est simplement le corps des scalaires).

Principe

La simplicité impose une rigidité des morphismes : les objets simples n'ont pas de sous-objets propres non nuls, ainsi les morphismes entre eux sont soit nuls soit inversibles, rendant leurs endomorphismes semblables à des scalaires.

Démonstration

Si V et W sont représentations irréductibles d'un groupe sur un corps k et f : V → W est une application G-linéaire non nulle, alors ker f et im f sont des sous-modules G ; la simplicité implique ker f = 0 et im f = W, donc f est un isomorphisme. Pour V simple, End_G(V) est une algèbre à division sur k.

Mauvaise application

Prendre pour acquis que End(V) = k simplement parce que V est simple quand le corps de base n'est pas algébriquement clos ; ou appliquer le lemme à des modules qui ne sont pas simples.

Conséquence

Fonde de nombreux résultats en théorie des représentations : classification des irréductibles, relations d'orthogonalité de Schur, et emploi d'algèbres à division d'endomorphismes dans l'étude des blocs et des algèbres simples centrales.

Inversion

Pour des modules non simples, les anneaux d'endomorphismes peuvent être volumineux et les applications ne sont pas nécessairement nulles ou inversibles ; la simplicité est l'hypothèse décisive perdue dans la réciproque.

Limite

S'applique aux modules ou représentations simples/irréductibles ; dans des contextes de dimension infinie il faut vérifier les hypothèses de catégorie et la topologie éventuelle ; la conclusion End = corps de base exige la clôture algébrique.

Tension sémantique

Tension avec les résultats sur les modules semi-simples : Schur décrit les endomorphismes des morceaux simples individuels, tandis que la semi-simplicité traite de la décomposition en tels morceaux ; on peut avoir des endomorphismes rigides pour les simples alors que les décompositions globales varient.

Synthèse

Le lemme de Schur exprime la rigidité des objets irréductibles : les applications non nulles entre eux sont des isomorphismes, et leurs endomorphismes forment une algèbre à division qui se réduit aux scalaires sur un corps algébriquement clos.