Afirmación sobre homomorfismos entre módulos (o representaciones) simples: cualquier homomorfismo no nulo entre módulos simples es un isomorfismo; en consecuencia, el anillo de endomorfismos de un módulo simple es un anillo con división (y sobre un cuerpo algebraicamente cerrado coincide con el cuerpo de escalares).

Principio

La simplicidad impone rigidez de morfismos: los objetos simples no admiten subobjetos propios no nulos, por lo que las aplicaciones entre ellos son nulas o invertibles, haciendo que sus endomorfismos se comporten como escalares.

Demostración

Si V y W son representaciones irreducibles de un grupo sobre un cuerpo k y f: V → W es una aplicación G-lineal no nula, entonces ker f e im f son submódulos G; la simplicidad implica ker f = 0 e im f = W, por lo que f es un isomorfismo. Para V simple, End_G(V) es una división algebra sobre k.

Aplicación incorrecta

Suponer que End(V) = k únicamente porque V es simple cuando el cuerpo base no es algebraicamente cerrado; o aplicar el lema a módulos que no son simples.

Consecuencia

Sustenta muchos resultados en teoría de representaciones: clasificación de irreducibles, relaciones de ortogonalidad de Schur y el uso de álgebras de división de endomorfismos en la teoría de bloques y en el estudio de álgebras simples centrales.

Inversión

Para módulos no simples, los anillos de endomorfismos pueden ser grandes y las aplicaciones no tienen por qué ser nulas o invertibles; la simplicidad es la hipótesis decisiva que se pierde en la inversión.

Límite

Se aplica a módulos o representaciones simples/irreducibles; en contextos de dimensión infinita hay que verificar hipótesis de categoría y topología si las hubiera; la conclusión End = cuerpo base requiere clausura algebraica.

Tensión semántica

Tensión con resultados sobre módulos semisimples: Schur describe los endomorfismos de los pedazos simples individuales, mientras que la semisimplicidad trata la descomposición en tales piezas; puede haber rigidez en los endomorfismos de los simples mientras que las descomposiciones globales varían.

Síntesis

El lema de Schur sintetiza la rigidez de los objetos irreducibles: las aplicaciones no nulas entre ellos son isomorfismos, y sus endomorfismos forman una álgebra de división que se reduce a escalares cuando el cuerpo base es algebraicamente cerrado.