Résultat d'unicité pour les décompositions en somme directe : sous des hypothèses de finitude appropriées (par exemple modules de longueur finie ou modules sur un anneau semiparfait), toute décomposition d'un module en facteurs indécomposables est unique à permutation et isomorphisme des facteurs près.

Principe

Les facteurs indécomposables se comportent comme des briques atomiques sous hypothèses de finitude, et les décompositions en somme directe possèdent une propriété de rigidité/cancellation assurant l'unicité.

Démonstration

Soit M un module de longueur finie avec des décompositions M ≅ ⊕_{i=1}^r A_i ≅ ⊕_{j=1}^s B_j où A_i, B_j sont indécomposables ; Krull–Schmidt affirme r = s et, à permutation près, A_i ≅ B_i pour tout i.

Mauvaise application

Prendre pour acquis l'unicité des décompositions en indécomposables sans vérifier les hypothèses : il existe des anneaux et des modules (sans conditions de finitude ou semiparfait) pour lesquels la décomposition en indécomposables n'est pas unique.

Conséquence

Permet la classification des modules par leurs facteurs indécomposables, soutient les théorèmes de structure en théorie des représentations et dans les catégories de modules, et permet de lire des invariants à partir des décompositions.

Inversion

Dans des contextes où les hypothèses de Krull–Schmidt font défaut, les décompositions peuvent être non uniques et les facteurs indécomposables ne forment pas des invariants canoniques ; la cancellation peut échouer.

Limite

S'applique sous des conditions explicites de finitude/semiparfait (longueur finie, anneaux artiniens ou semiparfaits) ; ne vaut pas automatiquement pour les modules infiniment générés ni pour tout anneau.

Tension sémantique

Tension avec l'unicité de Jordan–Hölder (facteurs de composition simples à l'ordre près) — Krull–Schmidt porte sur facteurs indécomposables en somme directe, distincts en portée et en hypothèses de l'autre résultat.

Synthèse

Krull–Schmidt affirme que, lorsque les conditions de taille et de nature de l'anneau sont réunies, un module se décompose de manière unique en facteurs indécomposables, ces derniers constituant les pièces atomiques canoniques pour la classification.