Eindeutigkeitsaussage für Direktsummenzerlegungen: Unter geeigneten Finitheitsannahmen (z. B. Moduln endlicher Länge oder Moduln über einem semiperfekten Ring) ist jede Zerlegung eines Moduls in indekomponierbare Summanden bis auf Reihenfolge und Isomorphie eindeutig.

Prinzip

Indecomponierbare Summanden fungieren unter Finitheitsbedingungen als atomare Bausteine, und Direktsummenzerlegungen besitzen eine Abschaffungs-/Rigiditätseigenschaft, die Eindeutigkeit garantiert.

Demonstration

Sei M ein Modul endlicher Länge mit Zerlegungen M ≅ ⊕_{i=1}^r A_i ≅ ⊕_{j=1}^s B_j, wobei A_i, B_j indekomponierbar sind; Krull–Schmidt besagt, dass r = s und nach Umordnung A_i ≅ B_i für alle i gilt.

Fehlanwendung

Das Annehmen der Eindeutigkeit indekomponierbarer Zerlegungen ohne Prüfung der Voraussetzungen: Es gibt Ringe und Moduln (ohne Finitheits- oder semiperfekte Voraussetzungen) mit nicht eindeutigen Zerlegungen in Indecomponierbare.

Konsequenz

Ermöglicht die Klassifikation von Moduln durch ihre indekomponierbaren Summanden, bildet die Grundlage vieler Strukturtheoreme in der Darstellungstheorie und erlaubt das Ablesen von Invarianten aus Zerlegungen.

Umkehrung

In Kontexten ohne Krull–Schmidt-Voraussetzungen können Zerlegungen nicht eindeutig sein und indekomponierbare Summanden dienen nicht als kanonische Invarianten; Cancellation kann versagen.

Abgrenzung

Gilt unter expliziten Finitheits-/semiperfekten Bedingungen (endliche Länge, artinische oder semiperfekte Ringe); nicht automatisch gültig für unendlich erzeugte Moduln oder beliebige Ringe.

Semantische Spannung

Spannung zur Jordan–Hölder-Eindeutigkeit (Kompositionsfaktoren bis auf Reihenfolge) — Krull–Schmidt betrifft indekomponierbare Direktsummanden, was sich in Geltungsbereich und Voraussetzungen unterscheidet.

Synthese

Krull–Schmidt formuliert, dass unter geeigneten Größen- und Ringannahmen Moduln eindeutig in indekomponierbare Summanden zerlegt werden, wodurch diese Summanden die kanonischen atomaren Bausteine der Klassifikation bilden.