La lissité formelle (pour une algèbre ou un morphisme d'algèbres) est la propriété de relèvement infinitésimal : pour tout anneau B et tout idéal nilpotent I ⊂ B, tout morphisme d'anneaux A → B/I se relève en un morphisme A → B. En algèbre commutative cela coïncide avec la lissité formelle géométrique et est lié à la projectivité du module des différentielles pour les algèbres de présentation finie.

Principe

Encode l'absence d'obstructions infinitésimales aux déformations des morphismes sortant de A : les objets formellement lisses admettent des relèvements le long des épaississements nilpotents et ont donc une théorie des déformations du premier ordre non obstructée.

Démonstration

Exemple : les algèbres de polynômes k[x_1,...,x_n] sont formellement lisses sur k car toute application vers B/I se relève en choisissant des préimages des variables. En contexte non commutatif, les algèbres séparables sur un corps sont formellement lisses et les algèbres de matrices héritent de cette propriété.

Mauvaise application

Supposer que la lissité formelle est équivalente à la lissité géométrique en tout contexte ou qu'elle implique la présentation finie ; la lissité formelle est une condition de relèvement qui peut tenir même si l'algèbre n'est pas de type fini, et inversement la lissité géométrique demande des hypothèses supplémentaires.

Conséquence

Les algèbres formellement lisses ont une théorie des déformations bien comportée : les morphismes s'étendent sur les épaississements nilpotents, les groupes d'obstruction s'annulent dans les degrés pertinents, et l'on obtient souvent l'existence de déformations verselles et de bonnes propriétés homologiques.

Inversion

L'absence de lissité formelle signale la présence d'obstructions : certains morphismes ne peuvent pas être relevés au travers d'extensions nilpotentes et des déformations infinitésimales peuvent être obstruées.

Limite

Il faut préciser l'anneau de base et la catégorie (commutatif vs non commutatif) ; la propriété est subtile pour les constructions infinies et doit être combinée à des hypothèses de finitude pour être comparée aux notions géométriques de morphismes lisses.

Tension sémantique

Tension entre lissité formelle, lissité géométrique et platitude : ces notions se recoupent dans de nombreux cadres classiques mais aucune ne permet de déduire automatiquement les autres sans hypothèses additionnelles (par ex. présentation finie, fibres régulières).

Synthèse

La lissité formelle est l'absence algébrique d'obstructions infinitésimales au relèvement des morphismes au travers d'épaississements nilpotents ; c'est une condition de liberté en théorie des déformations qui, sous hypothèses de finitude, coïncide avec la lissité classique.