La suavidad formal (para una álgebra o un morfismo de álgebras) es la propiedad de levantamiento infinitesimal: dado un álgebra B y un ideal nilpotente I ⊂ B, todo homomorfismo A → B/I se eleva a un homomorfismo A → B. En álgebra conmutativa esto coincide con la suavidad formal geométrica y está relacionado con la proyectividad del módulo de diferenciales para álgebras de presentación finita.

Principio

Codifica la ausencia de obstrucciones infinitesimales a deformar morfismos salientes de A: los objetos formalmente suaves admiten levantamientos sobre espesamientos nilpotentes y por tanto tienen teoría de deformaciones de primer orden sin obstrucciones.

Demostración

Ejemplo: Los anillos de polinomios k[x_1,...,x_n] son formalmente suaves sobre k porque cualquier mapa a B/I se eleva eligiendo preimágenes de las variables. En el contexto no conmutativo, las álgebras separables sobre un campo son formalmente suaves y las álgebras de matrices heredan esta propiedad.

Aplicación incorrecta

Suponer que la suavidad formal es equivalente a la suavidad geométrica en todo contexto o que implica presentación finita; la suavidad formal es una condición de levantamiento que puede cumplirse aun cuando el álgebra no sea de tipo finito, y la suavidad geométrica exige hipótesis adicionales.

Consecuencia

Las álgebras formalmente suaves tienen una buena teoría de deformaciones: los mapas se extienden sobre espesamientos nilpotentes, los grupos de obstrucción se anulan en los grados relevantes y con frecuencia existen deformaciones versales y buenas propiedades homológicas.

Inversión

La falta de suavidad formal indica la presencia de obstrucciones: algunos morfismos no se pueden levantar a través de extensiones nilpotentes y las deformaciones infinitesimales pueden estar obstructadas.

Límite

Es necesario especificar el anillo base y la categoría (conmutativa vs no conmutativa); la propiedad es sutil en construcciones infinitas y debe combinarse con hipótesis de finitud para compararla con nociones geométricas de morfismos suaves.

Tensión semántica

Tensión entre suavidad formal, suavidad geométrica y planitud: se solapan en muchos marcos clásicos pero ninguna implica automáticamente a las otras sin supuestos adicionales (p. ej. presentación finita, fibras regulares).

Síntesis

La suavidad formal es la ausencia algebraica de obstrucciones infinitesimales para levantar homomorfismos a través de espesamientos nilpotentes; es una condición de libertad en teoría de deformaciones que, bajo hipótesis de finitud, coincide con la suavidad clásica.