Le support d'un R-module M est le sous-ensemble Supp(M) ⊆ Spec(R) formé des idéaux premiers p tels que la localisation M_p est non nulle. Équivalemment, ce sont les premiers contenant l'annulateur de quelque élément de M, et pour M de type fini le support est fermé pour la topologie de Zariski.

Principe

Identifier où dans le spectre le module « réside » ou cesse de s'annuler : le support enregistre les lieux premiers où la localisation préserve une structure modulaire non triviale et relie ainsi les données modulaires aux points géométriques de Spec(R).

Démonstration

Pour M = Z/6Z vu comme Z-module, Supp(M) = { (2), (3) } car la localisation en tout premier autre que 2 ou 3 donne zéro ; pour M = R/I avec I radical, Supp(M) = V(I), l'ensemble fermé des premiers contenant I.

Mauvaise application

Interpréter le support comme l'ensemble des premiers engendrés par un système de générateurs ou comme l'ensemble où certains générateurs choisis sont non nuls ; le support est intrinsèque à M et indépendant du choix de générateurs, la localisation pouvant annuler ou préserver des générateurs de façon différente.

Conséquence

Le support fournit le lieu géométrique pour la faisceautisation des modules, contrôle les théorèmes d'annulation et intervient dans les décompositions : les premiers associés sont contenus dans le support et le support stratifie Spec(R) pour des analyses homologiques.

Inversion

La notion complémentaire est l'ensemble des premiers où la localisation est nulle ; il existe des variantes de cosupport (par exemple le cosupport cohomologique) qui mettent l'accent sur les lieux où des foncteurs dérivés s'annulent plutôt que sur ceux où les modules eux-mêmes sont non nuls.

Limite

Pour des modules arbitraires (éventuellement infinis) ou dans des anneaux non noethériens, le support peut être volumineux et non fermé ; le support de complexes, d'objets dérivés ou de modules non commutatifs exige des définitions adaptées (par ex. support homologique, spectres premiers non commutatifs).

Tension sémantique

Support vs premiers associés : le support est un lieu topologique/géométrique où le module est non nul, tandis que les premiers associés sont des témoins algébriques (annulateurs d'éléments) ; les premiers associés sont contenus dans le support mais ne le remplissent pas nécessairement.

Synthèse

Le support d'un module est le sous-ensemble de Spec(R) qui capture où le module reste non trivial après localisation ; il transforme les données algébriques de torsion et d'annulation en un lieu géométrique utilisé pour la faisceautisation, la stratification et le contrôle homologique.