Der Support eines R-Moduls M ist die Teilmenge Supp(M) ⊆ Spec(R) bestehend aus den Primidealen p, für die die Lokalisierung M_p ungleich 0 ist. Äquivalent sind es die Primideale, die den Annihilator einiger Elemente von M enthalten; bei endlich erzeugten M ist der Support abgeschlossen.

Prinzip

Bestimme, wo im Spektrum das Modul „sitzt“ oder nicht verschwindet: Der Support verzeichnet die primen Orte, an denen die Lokalisierung nichttriviale Modulstruktur erhält und stellt so die Verbindung zwischen modultheoretischen Daten und geometrischen Orten in Spec(R) her.

Demonstration

Für M = Z/6Z als Z-Modul ist Supp(M) = { (2), (3) }, weil die Lokalisierung an Primidealen außer 2 oder 3 null ergibt; für M = R/I mit I radikal ist Supp(M) = V(I), die abgeschlossene Menge der Primideale, die I enthalten.

Fehlanwendung

Den Support als die von Erzeugern erzeugten Primideale oder als die Menge der Primideale, wo einige gewählte Erzeuger nicht null sind, misszuverstehen; der Support ist intrinsic zu M und unabhängig von Erzeugerwahlen, Lokalisierung kann Erzeuger unterschiedlich verschwinden lassen.

Konsequenz

Der Support liefert den geometrischen Ort zur Aufsheafung von Modulen, steuert Vanishing‑Aussagen und tritt in Zerlegungssätzen auf: Assoziierte Primideale liegen im Support und der Support stratifiziert Spec(R) für homologische Analysen.

Umkehrung

Die komplementäre Sicht ist die Menge der Primideale, an denen die Lokalisierung null ist; es gibt Cosupport-Varianten (z. B. kohomologischer Cosupport), die darauf abstellen, wo Ableitungsfunktoren verschwinden, statt wo Module selbst nicht null sind.

Abgrenzung

Für beliebige (möglicherweise unendliche) Module oder in nicht-noetherschen Ringen kann der Support groß und nicht abgeschlossen sein; der Support von Komplexen, abgeleiteten Objekten oder nichtkommutativen Modulen erfordert angepasste Definitionen (z. B. homologischer Support, nichtkommutative Primspektren).

Semantische Spannung

Support vs assoziierte Primideale: Der Support ist ein topologisch/geometrischer Ort, an dem das Modul nicht null ist, während assoziierte Primideale algebraische Zeugen (Annihilatoren von Elementen) sind; assoziierte Primideale liegen im Support, füllen ihn aber nicht notwendigerweise aus.

Synthese

Der Support eines Moduls ist die Teilmenge von Spec(R), die erfasst, wo das Modul nach Lokalisierung nichttrivial bleibt; er übersetzt algebraische Torsions- und Annihilationsdaten in einen geometrischen Ort, der für Faisceausierung, Stratifizierung und homologische Kontrolle genutzt wird.