Propriété d'un anneau noethérien (ou local) caractérisée par une symétrie de ses invariants homologiques ; dans le cas local noethérien un anneau est Gorenstein s'il a une dimension injective finie en tant que module sur lui‑même, souvent égale à sa dimension de Krull.

Principe

Autodualité du point de vue homologique : l'anneau se comporte comme son propre objet dualisant, de sorte que Ext et la cohomologie locale présentent des schémas symétriques et que le module canonique est particulièrement simple.

Démonstration

Un anneau local régulier est Gorenstein. Plus généralement, un anneau hypersurface R = S/(f) avec S régulier et f un non‑diviseur de zéro est Gorenstein ; ces anneaux ont un module canonique de rang un et un comportement symétrique des Ext.

Mauvaise application

Prendre la propriété Gorenstein pour équivalente à Cohen–Macaulay ; bien que tout anneau local noethérien Gorenstein soit Cohen–Macaulay, la réciproque est en général fausse (il existe des anneaux Cohen–Macaulay non Gorenstein).

Conséquence

Les anneaux Gorenstein admettent un module dualisant simple avec des propriétés de symétrie fortes ; cela simplifie les énoncés de dualité, rend les motifs d'Ext prévisibles et facilite la classification des singularités.

Inversion

Un anneau non Gorenstein peut être Cohen–Macaulay mais manquer d'autodualité ; sa dimension injective est plus grande ou infinie et le module canonique peut être plus compliqué ou inexistant.

Limite

Formulé le plus souvent pour des anneaux noethériens (en particulier locaux ou gradués) ; en contextes non noethériens ou non commutatifs il faut adapter la définition et les hypothèses avec précaution.

Tension sémantique

Tension entre Gorenstein, Cohen–Macaulay et intersection complète : ces conditions se recouvrent mais sont distinctes ; la propriété Gorenstein se situe souvent strictement entre intersection complète et Cohen–Macaulay dans les hiérarchies habituelles.

Synthèse

La propriété Gorenstein exprime une autodualité homologique : l'anneau a une dimension injective finie et un module canonique simple, entraînant des phénomènes de dualité et de symétrie d'Ext qui restreignent ses singularités et sa cohomologie.