Propiedad de un anillo noetheriano (o local) caracterizada por una simetría de sus invariantes homológicos; en el caso local noetheriano un anillo es Gorenstein si tiene dimensión inyectiva finita como módulo sobre sí mismo, a menudo igual a la dimensión de Krull.

Principio

Autodualidad en términos homológicos: el anillo se comporta como su propio objeto dualizante, de modo que Ext y cohomología local muestran patrones simétricos y el módulo canónico es particularmente sencillo.

Demostración

Un anillo local regular es Gorenstein. Más generalmente, una hipersuperficie R = S/(f) con S regular y f un no divisor de cero es Gorenstein; tales anillos tienen un módulo canónico de rango uno y un comportamiento simétrico de Ext.

Aplicación incorrecta

Tratar Gorenstein como equivalente a Cohen–Macaulay; aunque todo anillo local noetheriano Gorenstein es Cohen–Macaulay, la recíproca no siempre es cierta (existen anillos Cohen–Macaulay que no son Gorenstein).

Consecuencia

Los anillos Gorenstein admiten un módulo dualizante simple con fuertes propiedades de simetría; esto simplifica afirmaciones de dualidad, hace predecible el comportamiento de Ext y facilita la clasificación de singularidades.

Inversión

Un anillo no Gorenstein puede ser Cohen–Macaulay pero carecer de autodualidad; su dimensión inyectiva es mayor o infinita y el módulo canónico puede ser más complicado o ausente.

Límite

Se formula normalmente para anillos noetherianos (particularmente locales o graduados); en contextos no noetherianos o no conmutativos hay que adaptar la definición y las hipótesis con cuidado.

Tensión semántica

Tensión entre Gorenstein, Cohen–Macaulay e intersección completa: estas condiciones se solapan pero son distintas; Gorenstein suele situarse entre intersección completa y Cohen–Macaulay en muchas jerarquías.

Síntesis

La propiedad Gorenstein recoge una autodualidad homológica: el anillo tiene dimensión inyectiva finita y un módulo canónico sencillo, lo que produce fenómenos simétricos de Ext y dualidad que restringen sus singularidades y cohomología.