Un module E sur un anneau R est injectif si tout morphisme R-linéaire défini sur un sous-module de n'importe quel module se prolonge au module entier. Équivalemment Hom_R(−,E) est exact ou Ext1_R(−,E) = 0 ; les injectifs jouent souvent le rôle de cogénérateurs et satisfont à des critères d'extension de type Baer.

Principe

Propriété d'extension des morphismes : les modules injectifs absorbent les applications définies sur des sous-structures sans obstruction, servant de récipients pour les extensions et permettant de tester les problèmes d'extension en mappant vers un injectif.

Démonstration

Comme modules sur Z, Q/Z est un cogénérateur injectif : tout homomorphisme défini sur un sous-groupe d'un groupe abélien s'étend dans Q/Z suivant le critère de Baer. Sur un corps, tous les espaces vectoriels sont injectifs et projectifs, donc les problèmes d'extension se trivialisent.

Mauvaise application

Confondre injectivité avec être monomorphe ou avec la projectivité ; les injectifs ne sont pas nécessairement libres ni de type fini, et traiter les injectifs comme des duaux des projectifs sans tenir compte du contexte de l'anneau est trompeur.

Conséquence

Disposer d'assez d'injectifs permet de calculer les foncteurs dérivés à droite comme Ext via des résolutions injectives ; les enveloppes injectives fournissent des extensions minimales canoniques et sont centrales dans la classification des modules et des théorèmes de décomposition.

Inversion

Les modules non injectifs font obstacle à l'extension : il existe des morphismes définis sur des sous-modules qui ne se prolongent pas, produisant des classes d'extension non triviales et nécessitant des constructions dérivées droites pour mesurer l'échec.

Limite

L'injectivité est une propriété catégorielle et homologique qui dépend fortement de l'anneau ambiant ; l'existence d'enveloppes injectives et d'assez d'injectifs vaut dans les catégories de modules sur des anneaux mais peut échouer dans des catégories abéliennes plus exotiques sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Tension entre 'injectif' au sens algébrique d'extension et l'usage topologique/élémentaire d'« injectif » signifiant injectif (un à un) ; ici injectif renvoie à la capacité d'extension, pas à l'injectivité des morphismes. Tension aussi avec projectif : notions duales mais asymétriques sur des anneaux non autoduals.

Synthèse

L'injectivité est la propriété selon laquelle tout morphisme depuis un sous-module se prolonge au module entier ; c'est la notion homologique réceptrice duale de la projectivité et elle fonde les résolutions injectives, enveloppes et la théorie des extensions.