Un módulo E sobre un anillo R es inyectivo si todo mapa R-lineal desde un submódulo de cualquier módulo hacia E se extiende al módulo entero. Equivalentemente Hom_R(−,E) es exacto o Ext1_R(−,E) = 0; los inyectivos son cogeneradores en muchas categorías de módulos y cumplen criterios de extensión de tipo Baer.

Principio

Propiedad de extensión de mapas: los módulos inyectivos aceptan mapas definidos en subestructuras sin obstáculo, sirven como receptáculos para extensiones y permiten testar problemas de extensión mapeando hacia inyectivos.

Demostración

Como Z-módulos, Q/Z es un cogenerador inyectivo: cualquier homomorfismo definido en un subgrupo de un grupo abeliano se extiende a Q/Z según el criterio de Baer. Sobre campos, todos los espacios vectoriales son inyectivos y proyectivos, por lo que los problemas de extensión se trivializan.

Aplicación incorrecta

Confundir inyectividad con ser monomórfico o con proyectividad; los inyectivos no han de ser libres ni de generación finita, y tratarlos como duales de los proyectivos sin atender al contexto del anillo resulta engañoso.

Consecuencia

Disponer de suficientes inyectivos permite calcular funtores derivados a la derecha como Ext mediante resoluciones injectivas; las envolturas inyectivas proporcionan extensiones mínimas canónicas y son centrales en la clasificación de módulos y teoremas de descomposición.

Inversión

Los módulos no inyectivos obstruyen la extensión: existen mapas desde submódulos que no pueden extenderse, produciendo clases de extensión no triviales y requiriendo construcciones derivadas derechas para medir el fallo.

Límite

La inyectividad es una propiedad categórica y homológica que depende fuertemente del anillo ambiente; la existencia de envolturas inyectivas y suficientes inyectivos se garantiza en categorías de módulos sobre anillos pero puede fallar en categorías abelianas más exóticas sin hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Tensión entre 'inyectivo' en el sentido algebraico de extensión y el uso topológico/ordinario de 'inyectivo' que significa uno a uno; aquí inyectivo se refiere a la capacidad de extensión, no a la inyectividad de morfismos. También tensión con proyectivo: nociones duales pero con asimetrías según el anillo.

Síntesis

La inyectividad es la propiedad de que todo mapa desde un submódulo se extiende al módulo entero; es la noción homológica receptora, dual a la proyectividad, y sustenta resoluciones inyectivas, envolturas y la teoría de extensiones.