Propriété d'un module M sur un anneau R (ou d'un morphisme d'anneaux R → S) signifiant que le foncteur tensoriel − ⊗_R M préserve les suites exactes ; équivalemment Tor1^R(−,M) = 0 pour tous les modules, de sorte qu'aucune torsion nouvelle n'est introduite par le produit tensoriel.

Principe

Préservation de l'exactitude par le produit tensoriel : les objets plats ne créent pas d'obstructions homologiques lors du tensoriel, donc les suites exactes courtes restent exactes après application de − ⊗_R M.

Démonstration

Comme modules sur Z, Q est plat parce que le produit tensoriel par Q n'altère pas l'exactitude des suites pertinentes, tandis que Z/nZ n'est pas plat sur Z : en tensorisant 0→Z→Z→Z/nZ→0 par Z/nZ on perd l'exactitude. Sur un PID comme Z, la platitude coïncide avec l'absence de torsion.

Mauvaise application

Confondre platitude et liberté en général ; beaucoup de modules non libres sont plats, et la projectivité (donc la liberté sur de nombreux anneaux) est plus forte que la platitude. Confondre un morphisme plat en géométrie algébrique avec une simple propriété topologique d'ouverture mêle exactitude algébrique et notions topologiques.

Conséquence

Les modules plats permettent le changement de base sans perte des relations algébriques exactes ; en géométrie, la platitude d'une famille signifie que les fibres varient 'continûment' au sens algébrique, et en algèbre homologique elle permet de calculer des foncteurs dérivés après tensorisation.

Inversion

La non-platitude signifie que certaines suites exactes deviennent non exactes après tensorisation : de la torsion est créée ou détectée par le produit tensoriel, provoquant l'échec du changement de base, une spécialisation obstructive ou l'apparition de groupes Tor non nuls.

Limite

La platitude est une condition homologique algébrique pour modules et morphismes ; elle n'implique pas en soi la finitude, la projectivité ou la lissité géométrique. Des résultats nécessitant des hypothèses noethériennes ou de type fini peuvent échouer pour des modules plats quelconques.

Tension sémantique

Tension avec le terme « morphisme plat » en géométrie où des qualifications supplémentaires (présentation finie, localement libre) sont souvent exigées pour tirer des conclusions géométriques ; tension aussi avec « sans torsion » qui n'est équivalent à plat que sur des anneaux particuliers comme les PID.

Synthèse

La platitude est la condition selon laquelle le tensoriel préserve l'exactitude : une garantie algébrique que le changement de base n'introduit pas d'obstructions cachées, distincte mais compatible avec la liberté et la projectivité dans des contextes plus forts.