Propiedad de un módulo M sobre un anillo R (o de un homomorfismo de anillos R → S) que significa que tensorizar con M (o con S sobre R) preserva las sucesiones exactas; equivalente a Tor1^R(−,M) = 0 para todos los módulos, de modo que el producto tensor no introduce nueva torsión.

Principio

Preservación de la exactitud bajo el producto tensorial: los objetos planos no crean obstrucciones homológicas al tensorizar, por lo que las sucesiones exactas cortas permanecen exactas después de aplicar − ⊗_R M.

Demostración

Como módulos sobre Z, Q es plano porque tensorizar con Q no rompe la exactitud; en cambio Z/nZ no es plano sobre Z porque al tensorizar la sucesión exacta 0→Z→Z→Z/nZ→0 con Z/nZ se pierde la exactitud. Sobre un PID como Z, la planitud coincide con la ausencia de torsión.

Aplicación incorrecta

Suponer que la planitud es equivalente a libertad en general; muchos módulos no libres son planos, y la proyectividad (por ende la libertad en muchos casos) es más fuerte que la planitud. Confundir un morfismo plano en geometría algebraica con una simple propiedad topológica de apertura mezcla exactitud algebraica con nociones topológicas.

Consecuencia

Los módulos planos permiten el cambio de base sin perder relaciones algebraicas exactas; en geometría, la planitud de una familia significa que las fibras varían 'continuamente' en sentido algebraico, y en álgebra homológica facilita el cálculo de funtores derivados tras tensorizar.

Inversión

La no planitud significa que algunas sucesiones exactas dejan de ser exactas tras tensorizar: se crea o detecta torsión mediante el producto tensorial, provocando fallo del cambio de base, especialización obstructiva o aparición de grupos Tor no nulos.

Límite

La planitud es una condición algebraico-homológica para módulos y morfismos; no implica por sí misma finitud, proyectividad o lisis geométrica. Resultados que requieren hipótesis noetherianas o de tipo finito pueden no valer para módulos planos arbitrarios.

Tensión semántica

Tensión con el término «morfismo plano» en geometría, donde a menudo se exigen cualificaciones adicionales (presentación finita, localmente libre) para obtener conclusiones geométricas; tensión también con «sin torsión», que equivale a plano sólo sobre anillos especiales como PID.

Síntesis

La planitud es la condición de que tensorizar preserva la exactitud: una garantía algebraica de que el cambio de base no introduce obstrucciones ocultas, distinta pero compatible con la libertad y la proyectividad en contextos más fuertes.